Kezdőlap


Feladat:	Gy.2194	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bánkövi Johanna , Benczúr A. , Buga Márta , Csizmazia T. , Csott R. , Cynolter G. , Dinnyés Enikő , Dringó L. , Fabó Gy. , Fodróczy T. , Habon Zs. , Hetényi Zs. , Horváth 335 A. , Horváth E. , Hruby E. , Kardos T. , Kerey P. , Kovács 123 L. , Kristóf Á. , Lipták L. , Majoros L. , Makó B. , Máté Nóra , Matievics I. , Misuth Zsuzsanna , Nagy 888 Sz. , Pál G. , Papp L. , Szabó 401 Gy. , Szabó 484 P. , Szakállas Sz. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Tornyi L. , Tóth Herta , Tóth Katalin , Vadász D. , Varga Tünde , Vargha Júlia
Füzet:	1984/november, 389. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/április: Gy.2194

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Világos, hogy mind az $A O B$ , mind az $A D B$ háromszög szabályos. Így ha a $C$ pont egybeesik $A$ -val vagy $B$ -vel, akkor a $C A^{2} + C B^{2} = C D^{2}$ összefüggés teljesül. Feltehetjük tehát, hogy $C$ a körnek $A$ -tól és $B$ -től különböző pontja.

1. ábra

Válasszuk meg a betűzést úgy, hogy az

A O B

(irányított) szög

+ 60^{\circ}

-os legyen (1. ábra), majd forgassuk el az

A C D

háromszöget az

A

pont körül

+ 60^{\circ}

-kal. Ez a forgatás a

D

pontot

B

-be, a

C

-t pedig valamilyen

E

pontba viszi. A forgatás miatt az

A C D

háromszög egybevágó az

A E B

háromszöggel, tehát

C D = E B

és

C A = E A

, továbbá

C A E ∢ = + 60^{\circ}

, ezért a

C A E

háromszög szabályos:

C A = C E

és

E C A ∢ = + 60^{\circ}

.
A

C A = C E

és

C D = E B

alapján a kérdéses

C A^{2} + C B^{2} = C D^{2}

összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} C E^{2} + C B^{2} = E B^{2} . \end{matrix}

Itt a

B C E

háromszög oldalai állnak, tehát a feladat megoldásához a Pitagorasz-tétel alapján elegendő azt belátni, hogy a

B C E

háromszög

C

csúcsában derékszög van. A továbbiakban ezt bizonyítjuk.
Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a

C

pont a kör hosszabb vagy rövidebb

A B

ívére esik. Az első esetben (1. ábra) az

A B

ívhez tartozó

A C B

kerületi szög fele az

A O B ∢ = 60^{\circ}

középponti szögnek, tehát

E C B ∢ = E C A ∢ + + A C B ∢ = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}

, ahogyan kívántuk.

2. ábra

A másik esetben (2. ábra) viszont az

A C B ∢

kiegészítő szöge a középponti szög felének, vagyis

A C B ∢ = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}

, és

E C B ∢ = A C B ∢ - A C E ∢ = 150^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}

.
A

B C E

háromszög tehát valóban derékszögű, amivel a feladat állítását is beláttuk.