Feladat: Gy.2190 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1985/január, 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/április: Gy.2190

Legyen
f(x)=x-[x2]-[x4]-[x6]-[x12].(1)
Határozzuk meg a függvény értékkészletét.

Mivel x=x2+x4+x6+x12 , ezért
f(x)=x2-[x2]+x4-[x4]+x6-[x6]+x12-[x12].
Egyetlen szám sem kisebb az egészrészénél, így f(x)0, másfelől egy számnak és az egész részének különbsége kisebb egynél, tehát f(x)<4.
Megmutatjuk, hogy a függvény értékkészlete a [0,4] intervallum.
Ha 0t2, akkor
0<t12<t6<t4<t21,
vagyis
[t2]=[t4]=[t6]=[t12]=0,
így ekkor f(t)=t.
Ha 2<t<4, akkor
-1<t-42<t-44<t-46<t-412<0,
vagyis
[t-42]=[t-44]=[t-46]=[t-412]=-1,
és így f(t-4)=t-4+4=t.
Ezzel beláttuk, hogy minden olyan t-re, amelyre 0t<4, létezik olyan x, amelyre f(x)=t.
 
Megjegyzés. Általában is igazolható, hogy ha az α1, α2,...,αn pozitív számokra α1+α2+...+αn=1, akkor az f(x)=x-[α1x]-[α2x]-...-[αnx] függvény értékkészlete a [0,n) intervallum.