Kezdőlap


Feladat:	Gy.2190	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1985/január, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/április: Gy.2190

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{6} + \frac{x}{12}$ , ezért

\begin{matrix} f (x) = \frac{x}{2} - [\frac{x}{2}] + \frac{x}{4} - [\frac{x}{4}] + \frac{x}{6} - [\frac{x}{6}] + \frac{x}{12} - [\frac{x}{12}] . \end{matrix}

Egyetlen szám sem kisebb az egészrészénél, így

f (x) \geq 0

, másfelől egy számnak és az egész részének különbsége kisebb egynél, tehát

f (x) < 4

.
Megmutatjuk, hogy a függvény értékkészlete a

[0,4]

intervallum.
Ha

0 \leq t \leq 2

, akkor

\begin{matrix} 0 < \frac{t}{12} < \frac{t}{6} < \frac{t}{4} < \frac{t}{2} \leq 1, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} [\frac{t}{2}] = [\frac{t}{4}] = [\frac{t}{6}] = [\frac{t}{12}] = 0, \end{matrix}

így ekkor

f (t) = t

.
Ha

2 < t < 4

, akkor

\begin{matrix} - 1 < \frac{t - 4}{2} < \frac{t - 4}{4} < \frac{t - 4}{6} < \frac{t - 4}{12} < 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} [\frac{t - 4}{2}] = [\frac{t - 4}{4}] = [\frac{t - 4}{6}] = [\frac{t - 4}{12}] = - 1, \end{matrix}

és így

f (t - 4) = t - 4 + 4 = t

.
Ezzel beláttuk, hogy minden olyan

t

-re, amelyre

0 \leq t < 4

, létezik olyan

x

, amelyre

f (x) = t

Megjegyzés. Általában is igazolható, hogy ha az

α_{1}

α_{2}, ..., α_{n}

pozitív számokra

α_{1} + α_{2} + ... + α_{n} = 1

, akkor az

f (x) = x - [α_{1} x] - [α_{2} x] - ... - [α_{n} x]

függvény értékkészlete a

[0, n)

intervallum.