Feladat: Gy.2173 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bóna M. ,  Cynolter G. ,  Grallert Ágnes ,  Gyuris V. ,  Hornyák Z. ,  Horváth 572 L. ,  Kárpáti M. ,  Kocsis 443 Katalin ,  Kós G. ,  Kucsera Itala ,  Kunszt P. ,  Olasz-Szabó M. ,  Papp 710 Zs. ,  Ribényi Á. ,  Szabó 529 G. ,  Szalay Gy. ,  Szigeti Z. ,  Werner P. 
Füzet: 1985/november, 381 - 383. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb sokszögek egybevágósága, Paralelepipedon, Paralelogrammák, Tetraéderek, Vektorok lineáris kombinációi, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/január: Gy.2173

Az ABCD tetraéder AB, BC, CD és DA élein rendre úgy vettük fel a P, Q, R, ill. S pontokat, hogy P az AB, Q a BC, R a CD, S a DA élnek az A, B, C, ill. D csúcshoz közelebbi harmadoló pontja. A P, Q, R, S pontok milyen elhelyezkedése esetén lehet egyértelműen meghatározni az ABCD tetraéder csúcsait?

I. megoldás. A tér egy tetszőlegesen választott O pontjából a csúcsokba, illetve a harmadoló pontokba mutató vektorokat jelöljük a megfelelő kisbetűvel.
Ekkor pl.
p=a+13(b-a)=23a+13b,
és hasonlóképpen
q=23b+13c,r=23c+13d,s=23d+13a.

Az egyenletrendszerből átalakítások után a következő összefüggések adják a csúcsokba mutató vektorokat:
a=15(8p-4q+2r-s),b=15(8q-4r+2s-p),c=15(8r-4s+2p-q),d=15(8s-4p+2q-r).

Ezek a kifejezések egyértelműek, tehát P, Q, R és S minden elhelyezkedése egyértelműen határozza meg a keresett A, B, C, D pontnégyest. Az megtörténhet, hogy a négy pont egy síkban van, a tetraéder elfajuló, mégpedig abban az esetben, ha maguk a P, Q, R és S pontok is egy síkban vannak.
 

II. megoldás. A megoldásban egy szerkesztési eljárást mutatunk be. Fektessünk a tetraéder minden élén át a szemközti éllel párhuzamos síkot. Ez a hat, páronként párhuzamos sík egy paralelepipedont alkot (AD*BC*A*DB*C), melyben a tetraéder élei az oldallapok átlói. (L. az ábra bal oldalán.)
 
 

Tekintsük a paralelepipedon AD* élét harmadoló, AC*CA* lappal párhuzamos két síkot. Világos, hogy P és R az A-hoz közelebbi H1, Q és S pedig az A-tól távolabbi H2 síkra illeszkednek.
A paralelepipedont e két sík egybevágó paralelogrammákban metszi. Ha most a H1 síkot a paralelepipedon AD* élével párhuzamosan a H2 síkra vetítjük, akkor az R és a P pontok R* és P* vetületei, valamint az S és a Q pontok egy M paralelogramma ‐ a H2 síkmetszete ‐ kerületén helyezkednek el és M oldalait egyező körüljárás szerint harmadolják. Így maguk is egy paralelogramma csúcsai ( l. az ábra jobb oldalán). Ez azt jelenti, hogy az előbbi vetítés során a PR szakasz K1 felezőpontja a QS szakasz K2 felezőpontjába kerül, a K1K2 irány tehát párhuzamos a vetítés irányával, az AD* éllel, hossza pedig AD*/3. Megszerkesztve tehát az SQ-ra illeszkedő, PR-rel párhuzamos H2 síkot, R* és P* az R és P pontok K1K2 irányú vetülete lesz ezen a síkon. Az SR*QP* paralelogrammát tehát meg tudjuk szerkeszteni, és ha P, Q, R és S nincsenek egy síkban, akkor az így szerkesztett SR*QP* négyszög valóban paralelogramma is lesz. (Éppen a PQRS tetraéder köré építhető paralelepipedon egy lapja.)
Most már elegendő az M paralelogrammát megszerkesztenünk. M ugyanis egybevágó a paralelepipedon AA*CC* állású lapjával, az AD* él hosszát és irányát pedig ismerjük. Így a paralelepipedon és ezzel együtt az ABCD tetraéder is megszerkeszthető.
Legyen T a P*R* szakasz R*-hoz közelebb eső harmadoló pontja. Ekkor az ST egyenes nyilván párhuzamos M-nek az R*-on, illetve a P*-on áthaladó oldalaival. Ezeket az oldalegyeneseket tehát megszerkeszthetjük, és hasonlóan kapjuk a másik két oldalegyenest, és így végül magát az M paralelogrammát. A leírt szerkesztés mindig elvégezhető, amennyiben P, Q, R és S nem esnek egy síkba, azaz ha a tetraéder nem fajul el.
 

 Kucsera Itala (Pécs, Dandár úti Ált. Isk., 8. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A P középpontú (-2)-szeres nagyítás az A-t a B-be viszi, hasonlóan a Q középpontú (-2)-szeres nagyítás a B-t a C-be, az R középpontú (-2)-szeres nagyítás a C-t a D-be, végül az S középpontú (-2)-szeres nagyítás a D-t ismét az A-ba viszi. Ismeretes, hogy középpontos hasonlóságok egymásutánja ismét középpontos hasonlóság, amennyiben az arányok szorzata nem 1, ami itt teljesül. A fentiekből viszont az következik, hogy az eredő középpontos hasonlóság során az A pont képe önmaga, vagyis A a hasonlóság középpontja, s mint ilyen, egyértelműen meghatározott. Hasonló gondolatmenettel ugyanezt kapjuk a B, a C és a D csúcsokra is.
 

 Ribényi Ákos (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)
 
2. Látható, hogy a megadott harmadolópontok mindig meghatározzák az A, B, C, D pontokat, akár síkbeli, akár pedig térbeli elrendezésből indulunk ki. Bár a második megoldás a síkbeli esetet nem adja ki, a feladat kérdésére adott válasza teljesnek tekinthető.