Kezdőlap


Feladat:	Gy.2173	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóna M. , Cynolter G. , Grallert Ágnes , Gyuris V. , Hornyák Z. , Horváth 572 L. , Kárpáti M. , Kocsis 443 Katalin , Kós G. , Kucsera Itala , Kunszt P. , Olasz-Szabó M. , Papp 710 Zs. , Ribényi Á. , Szabó 529 G. , Szalay Gy. , Szigeti Z. , Werner P.
Füzet:	1985/november, 381 - 383. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek egybevágósága, Paralelepipedon, Paralelogrammák, Tetraéderek, Vektorok lineáris kombinációi, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/január: Gy.2173

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A tér egy tetszőlegesen választott $O$ pontjából a csúcsokba, illetve a harmadoló pontokba mutató vektorokat jelöljük a megfelelő kisbetűvel.
Ekkor pl.

\begin{matrix} p = a + \frac{1}{3} (b - a) = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b, \end{matrix}

és hasonlóképpen

\begin{matrix} q & = \frac{2}{3} b + \frac{1}{3} c, \\ r & = \frac{2}{3} c + \frac{1}{3} d, \\ s & = \frac{2}{3} d + \frac{1}{3} a . \end{matrix}

Az egyenletrendszerből átalakítások után a következő összefüggések adják a csúcsokba mutató vektorokat:

\begin{matrix} a & = \frac{1}{5} (8 p - 4 q + 2 r - s), \\ b & = \frac{1}{5} (8 q - 4 r + 2 s - p), \\ c & = \frac{1}{5} (8 r - 4 s + 2 p - q), \\ d & = \frac{1}{5} (8 s - 4 p + 2 q - r) . \end{matrix}

Ezek a kifejezések egyértelműek, tehát

P

Q

R

és

S

minden elhelyezkedése egyértelműen határozza meg a keresett

A

B

C

D

pontnégyest. Az megtörténhet, hogy a négy pont egy síkban van, a tetraéder elfajuló, mégpedig abban az esetben, ha maguk a

P

Q

R

és

S

pontok is egy síkban vannak.

II. megoldás. A megoldásban egy szerkesztési eljárást mutatunk be. Fektessünk a tetraéder minden élén át a szemközti éllel párhuzamos síkot. Ez a hat, páronként párhuzamos sík egy paralelepipedont alkot

(A D^{*} B C^{*} A^{*} D B^{*} C)

, melyben a tetraéder élei az oldallapok átlói. (L. az ábra bal oldalán.)

Tekintsük a paralelepipedon

A D^{*}

élét harmadoló,

A C^{*} C A^{*}

lappal párhuzamos két síkot. Világos, hogy

P

és

R

A

-hoz közelebbi

H_{1}

Q

és

S

pedig az

A

-tól távolabbi

H_{2}

síkra illeszkednek.
A paralelepipedont e két sík egybevágó paralelogrammákban metszi. Ha most a

H_{1}

síkot a paralelepipedon

A D^{*}

élével párhuzamosan a

H_{2}

síkra vetítjük, akkor az

R

és a

P

pontok

R^{*}

és

P^{*}

vetületei, valamint az

S

és a

Q

pontok egy

M

paralelogramma ‐ a

H_{2}

síkmetszete ‐ kerületén helyezkednek el, és

M

oldalait egyező körüljárás szerint harmadolják. Így maguk is egy paralelogramma csúcsai ( l. az ábra jobb oldalán). Ez azt jelenti, hogy az előbbi vetítés során a

P R

szakasz

K_{1}

felezőpontja a

Q S

szakasz

K_{2}

felezőpontjába kerül, a

K_{1} K_{2}

irány tehát párhuzamos a vetítés irányával, az

A D^{*}

éllel, hossza pedig

A D^{*} / 3

. Megszerkesztve tehát az

S Q

-ra illeszkedő,

P R

-rel párhuzamos

H_{2}

síkot,

R^{*}

és

P^{*}

R

és

P

pontok

K_{1} K_{2}

irányú vetülete lesz ezen a síkon. Az

S R^{*} Q P^{*}

paralelogrammát tehát meg tudjuk szerkeszteni, és ha

P

Q

R

és

S

nincsenek egy síkban, akkor az így szerkesztett

S R^{*} Q P^{*}

négyszög valóban paralelogramma is lesz. (Éppen a

P Q R S

tetraéder köré építhető paralelepipedon egy lapja.)
Most már elegendő az

M

paralelogrammát megszerkesztenünk.

M

ugyanis egybevágó a paralelepipedon

A A^{*} C C^{*}

állású lapjával, az

A D^{*}

él hosszát és irányát pedig ismerjük. Így a paralelepipedon és ezzel együtt az

A B C D

tetraéder is megszerkeszthető.
Legyen

T

P^{*} R^{*}

szakasz

R^{*}

-hoz közelebb eső harmadoló pontja. Ekkor az

S T

egyenes nyilván párhuzamos

M

-nek az

R^{*}

-on, illetve a

P^{*}

-on áthaladó oldalaival. Ezeket az oldalegyeneseket tehát megszerkeszthetjük, és hasonlóan kapjuk a másik két oldalegyenest, és így végül magát az

M

paralelogrammát. A leírt szerkesztés mindig elvégezhető, amennyiben

P

Q

R

és

S

nem esnek egy síkba, azaz ha a tetraéder nem fajul el.

Megjegyzések. 1. A

P

középpontú

(- 2)

-szeres nagyítás az

A

-t a

B

-be viszi, hasonlóan a

Q

középpontú

(- 2)

-szeres nagyítás a

B

-t a

C

-be, az

R

középpontú

(- 2)

-szeres nagyítás a

C

-t a

D

-be, végül az

S

középpontú

(- 2)

-szeres nagyítás a

D

-t ismét az

A

-ba viszi. Ismeretes, hogy középpontos hasonlóságok egymásutánja ismét középpontos hasonlóság, amennyiben az arányok szorzata nem 1, ami itt teljesül. A fentiekből viszont az következik, hogy az eredő középpontos hasonlóság során az

A

pont képe önmaga, vagyis

A

a hasonlóság középpontja, s mint ilyen, egyértelműen meghatározott. Hasonló gondolatmenettel ugyanezt kapjuk a

B

, a

C

és a

D

csúcsokra is.

2. Látható, hogy a megadott harmadolópontok mindig meghatározzák az

A

B

C

D

pontokat, akár síkbeli, akár pedig térbeli elrendezésből indulunk ki. Bár a második megoldás a síkbeli esetet nem adja ki, a feladat kérdésére adott válasza teljesnek tekinthető.