A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Rajzoljuk meg a húrsokszög körülírt körét. Két esetet különböztethetünk meg aszerint, hogy tartalmazza-e a körülírt kör középpontját vagy sem. Először legyen a belsejében vagy határán. Kössük össze -t a sokszög valamennyi csúcsával! Mivel konvex és belső pont, a keletkezett egyenlő szárú háromszögek -ban vannak. Láthatjuk, hogy az egyenlő szárú háromszögek egyenlő szögei közül az egyik egy páratlan, a másik a szomszédos páros indexű csúcshoz tartozik. Mivel a sokszögnek páros sok csúcsa van, azért a páratlan sorszámú csúcsokban ugyanazokat a szögeket kell összegeznünk, mint a párosokban. Így összegük valóban egyenlő.
A második esetben nem tartalmazza a körülírt kör középpontját. Ekkor van a sokszögnek olyan oldala, mely úgy osztja ketté a kört, hogy az egyik részben van a a másikban az . Tükrözzük az oldalt -ra, a kapott szakasz legyen A húrsokszögnek páros sok oldala van és -t belsejében tartalmazza. Így az előzők szerint a páros sorszámú csúcsaiban levő belső szögeinek összege egyenlő a páratlan sorszámú csúcsban levő belső szögeinek összegével. Most ha az összegből levonjuk az és szögeket, akkor éppen -nak az -gyel egyenlő párosságú csúcsainál található belső szögei összegét kapjuk. Hasonlóan, -ből az és szögeket levonva az -vel egyenlő párosságú csúcsok belső szögeinek összege adódik. Az idom téglalap, tehát -ből mindkét esetben ugyanannyit, -ot vontunk le. Ez pedig azt mutatja, hogy a -ra vonatkozó megfelelő összegek egyenlők, állításunkat erre az esetre is bizonyítottuk. |