Feladat: Gy.2123 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1983/december, 210 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Húrsokszögek, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: Gy.2123

Az A1, A2, ..., A2n konvex húrsokszögben az Ai csúcsnál levő belső szöget αi-vel jelöljük. Igazoljuk, hogy
α1+α3+...+α2n-1=α2+α4+...+α2n

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljuk meg a H húrsokszög körülírt körét. Két esetet különböztethetünk meg aszerint, hogy H tartalmazza-e a körülírt kör O középpontját vagy sem. Először legyen O a H belsejében vagy határán. Kössük össze O-t a sokszög valamennyi csúcsával! Mivel H konvex és O belső pont, a keletkezett egyenlő szárú háromszögek H-ban vannak. Láthatjuk, hogy az egyenlő szárú háromszögek egyenlő szögei közül az egyik egy páratlan, a másik a szomszédos páros indexű csúcshoz tartozik. Mivel a sokszögnek páros sok csúcsa van, azért a páratlan sorszámú csúcsokban ugyanazokat a szögeket kell összegeznünk, mint a párosokban. Így összegük valóban egyenlő.

 
 

A második esetben H nem tartalmazza a körülírt kör O középpontját. Ekkor van a sokszögnek olyan Ai,Ai+1 oldala, mely úgy osztja ketté a kört, hogy az egyik részben van a H, a másikban az O. Tükrözzük az AiAi+1 oldalt O-ra, a kapott szakasz legyen A'iA'i+1 A H'=A1A2...AiA'i+1A'iAi+1...A2n húrsokszögnek páros sok oldala van és O-t belsejében tartalmazza. Így az előzők szerint a páros sorszámú csúcsaiban levő belső szögeinek S összege egyenlő a páratlan sorszámú csúcsban levő belső szögeinek összegével.
Most ha az S összegből levonjuk az AiAi+1A'i és AiA'i+1Ai szögeket, akkor éppen H-nak az (i+1)-gyel egyenlő párosságú csúcsainál található belső szögei összegét kapjuk. Hasonlóan, S-ből az Ai+1AiA'i+1 és A'i+1AiAi+1 szögeket levonva az i-vel egyenlő párosságú csúcsok belső szögeinek összege adódik. Az A,Ai+1A'iA'i+1 idom téglalap, tehát S-ből mindkét esetben ugyanannyit, 90+90=180-ot vontunk le. Ez pedig azt mutatja, hogy a H-ra vonatkozó megfelelő összegek egyenlők, állításunkat erre az esetre is bizonyítottuk.