Feladat: Gy.2118 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bujdosó László ,  Grőbler T. ,  Jedlovszky P. ,  Megyesi G. ,  Szederkényi Edit 
Füzet: 1983/november, 144. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: Gy.2118

Egy halom kavicsot négy, nem feltétlenül egyforma kupacba rakunk, majd összegyűjtjük és újra szétrakjuk őket, ezúttal öt kupacba.
Bizonyítsuk be, hogy másodszorra legalább két kavics kisebb kupacba került, mint az első alkalommal.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nyilván csak akkor lehet igaz, ha minden kupac legalább egy kavicsot tartalmaz.

 

Jelölje az első esetben az egyes kupacokban levő kavicsok számát a1, a2, a3, a4; a második szétrakás esetén b1, b2, b3, b4, b5. Az első szétrakás után az ai darab kavicsot tartalmazó kupac minden kavicsára írjunk 1/ai-t (i=1,2,3,4), a második szétrakás után pedig a bi darab kavicsból álló kupac mindegyik kavicsára 1/bi-t (i=1;...,5). Az első esetben a kavicsokra írt számok összege:
a11a1+a21a2+a31a3+a41a4=4
a második esetben pedig a hasonló összeg nyilván 5.
Ezután minden kavicson vonjuk ki az elsőnek felírt számot a másodikból. Így minden kavicson egy 1/bi-1/aj típusú különbség lesz. Egy kavics pontosan akkor került kisebb kupacba, ha aj>bi, azaz ha 1aj<1bi, vagyis ha 0<1bi-1aj, tehát ha a rajta levő különbség pozitív. Ezeknek a különbségeknek az összege 5-4=1. Ha másodszorra legfeljebb 1 kavics került volna kisebb kupacba, akkor legfeljebb egy kavicson lenne pozitív különbség. Ám ez 1bi1, 1ai>0 miatt 1-nél kisebb lenne; a különbségek összege nem lehetne 1. Ezzel beláttuk, hogy másodszorra legalább két kavics kisebb kupacba került.
Teljesen hasonló módon bizonyítható, hogy ha n kupac kavicsot n+k kupacba rakunk át, akkor legalább k+1 kavics kisebb kupacba kerül.
 

 Bujdosó László (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A fenti (általánosított) eredmény nem javítható. Ha ugyanis eredetileg egy kupacban k+1 db kavics van, akkor azokat szétrakhatjuk k+1 db egy kavicsból álló kupacba, a többi kupacot pedig változatlanul hagyva pontosan k+1 kavics kerül kisebb kupacba.
2. A megoldók jelentős része úgy értelmezte a feladatot, hogy az eredeti kupacok némelyikéből néhány kavicsot elveszünk, és ezekből hozzuk létre az ötödik kupacot, miközben az eredeti kupacok többi tagját változatlanul hagyjuk. Mivel így a feladat állítása nyilvánvaló, ezért ezek a dolgozatok nem kaptak pontot.