Kezdőlap


Feladat:	Gy.2118	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bujdosó László , Grőbler T. , Jedlovszky P. , Megyesi G. , Szederkényi Edit
Füzet:	1983/november, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: Gy.2118

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nyilván csak akkor lehet igaz, ha minden kupac legalább egy kavicsot tartalmaz.

Jelölje az első esetben az egyes kupacokban levő kavicsok számát

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a_{4}

; a második szétrakás esetén

b_{1}

b_{2}

b_{3}

b_{4}

b_{5}

. Az első szétrakás után az

a_{i}

darab kavicsot tartalmazó kupac minden kavicsára írjunk

1 / a_{i}

-t (

i = 1, 2, 3, 4

), a második szétrakás után pedig a

b_{i}

darab kavicsból álló kupac mindegyik kavicsára

1 / b_{i}

-t (

i = 1; ..., 5

). Az első esetben a kavicsokra írt számok összege:

\begin{matrix} a_{1} \cdot \frac{1}{a_{1}} + a_{2} \cdot \frac{1}{a_{2}} + a_{3} \cdot \frac{1}{a_{3}} + a_{4} \cdot \frac{1}{a_{4}} = 4 \end{matrix}

a második esetben pedig a hasonló összeg nyilván 5.
Ezután minden kavicson vonjuk ki az elsőnek felírt számot a másodikból. Így minden kavicson egy

1 / b_{i} - 1 / a_{j}

típusú különbség lesz. Egy kavics pontosan akkor került kisebb kupacba, ha

a_{j} > b_{i}

, azaz ha

\frac{1}{a_{j}} < \frac{1}{b_{i}}

, vagyis ha

0 < \frac{1}{b_{i}} - \frac{1}{a_{j}}

, tehát ha a rajta levő különbség pozitív. Ezeknek a különbségeknek az összege 5-4=1. Ha másodszorra legfeljebb 1 kavics került volna kisebb kupacba, akkor legfeljebb egy kavicson lenne pozitív különbség. Ám ez

\frac{1}{b_{i}} \leq 1

\frac{1}{a_{i}} > 0

miatt 1-nél kisebb lenne; a különbségek összege nem lehetne 1. Ezzel beláttuk, hogy másodszorra legalább két kavics kisebb kupacba került.
Teljesen hasonló módon bizonyítható, hogy ha

n

kupac kavicsot

n + k

kupacba rakunk át, akkor legalább

k + 1

kavics kisebb kupacba kerül.

Bujdosó László (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A fenti (általánosított) eredmény nem javítható. Ha ugyanis eredetileg egy kupacban

k + 1

db kavics van, akkor azokat szétrakhatjuk

k + 1

db egy kavicsból álló kupacba, a többi kupacot pedig változatlanul hagyva pontosan

k + 1

kavics kerül kisebb kupacba.
2. A megoldók jelentős része úgy értelmezte a feladatot, hogy az eredeti kupacok némelyikéből néhány kavicsot elveszünk, és ezekből hozzuk létre az ötödik kupacot, miközben az eredeti kupacok többi tagját változatlanul hagyjuk. Mivel így a feladat állítása nyilvánvaló, ezért ezek a dolgozatok nem kaptak pontot.