Feladat: Gy.2101 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bihary Zs. ,  Birkás Gy. ,  Búza Kinga ,  Edvi T. ,  Gáspár Zsuzsanna ,  Giba P. ,  Hetyei Judit ,  Hraskó A. ,  Kós G. ,  Limbek Csaba ,  Marosvári 531 Zs. ,  Megyeri A. ,  Megyesi G. ,  Mihalovics Judit ,  Németh Buhin Á. ,  Pfeil T. ,  Pintér A. ,  Simon Gy. ,  Somogyi Á. ,  Szabó Sz. ,  Uhlmann E. 
Füzet: 1983/november, 140. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Szabályos tetraéder, Vektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/január: Gy.2101

Adott egy szabályos tetraéder és a térben a PQ szakasz. A tetraéder lapjaira merőlegesen vetítjük a PQ vektort, a vetületek v1, v2, v3 és v4. Bizonyítsuk be, hogy v1+v2+v3+v4=  83 PQ.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először lássuk be, hogy az állítás igaz arra az esetre, amikor PQ a tetraéder valamelyik éle. Legyen pl. PQ=AB. Ekkor AB vetülete az ABC, ill az ABD tetraéderlapokon önmaga, az ACD lapon AB1, a BCD lapon A1B, ahol A1, és B1 a BCD, ill. az ACD szabályos háromszög súlypontja.

Jelölje F a CD él felezőpontját, ekkor AB1=23AF és A1B=23FB, ezért
AB1+A1B=23(AF+FB)=23AB,
tehát ebben az esetben a vetületek összege valóban 83AB.
 

Az állítás akkor is igaz, ha PQ párhuzamos a tetraéder valamelyik élével, mert akkor pl. PQ=aAB, ahol a valamilyen valós szám. Mivel a vektor a-szorosra változott, a-szorosra változnak a vetületek, s így azok összege is.
Ha pedig PQ nem párhuzamos a tetraéder egyik élével sem, akkor felbontható három, a tetraéder 1‐1 oldalélével párhuzamos vektor összegére (hiszen ezek nem egy síkba eső vektorok). E komponensekre már tudjuk, hogy igaz az állítás, és mivel vektorok összegének egy síkra való vetülete egyenlő az egyes vektorok vetületének összegével, ebből következik, hogy az állítás e komponensek összegére is igaz.
Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

 Limbek Csaba (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján