Kezdőlap


Feladat:	Gy.2101	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bán Rita , Bihary Zs. , Birkás Gy. , Búza Kinga , Edvi T. , Gáspár Zsuzsanna , Giba P. , Hetyei Judit , Hraskó A. , Kós G. , Limbek Csaba , Marosvári 531 Zs. , Megyeri A. , Megyesi G. , Mihalovics Judit , Németh Buhin Á. , Pfeil T. , Pintér A. , Simon Gy. , Somogyi Á. , Szabó Sz. , Uhlmann E.
Füzet:	1983/november, 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Szabályos tetraéder, Vektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: Gy.2101

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először lássuk be, hogy az állítás igaz arra az esetre, amikor $\vec{P Q}$ a tetraéder valamelyik éle. Legyen pl. $\vec{P Q} = \vec{A B}$ . Ekkor $\vec{A B}$ vetülete az $A B C$ , ill az $A B D$ tetraéderlapokon önmaga, az $A C D$ lapon $\vec{A B_{1}}$ , a $B C D$ lapon $\vec{A_{1} B}$ , ahol $A_{1}$ , és $B_{1}$ a $B C D$ , ill. az $A C D$ szabályos háromszög súlypontja.

Jelölje

F

C D

él felezőpontját, ekkor

\vec{A B_{1}} = \frac{2}{3} \vec{A F}

és

\vec{A_{1} B} = \frac{2}{3} \vec{F B}

, ezért

\begin{matrix} \vec{A B_{1}} + \vec{A_{1} B} = \frac{2}{3} (\vec{A F} + \vec{F B}) = \frac{2}{3} \vec{A B}, \end{matrix}

tehát ebben az esetben a vetületek összege valóban

\frac{8}{3} \vec{A B}

Az állítás akkor is igaz, ha

\vec{P Q}

párhuzamos a tetraéder valamelyik élével, mert akkor pl.

\vec{P Q} = a \cdot \vec{A B}

, ahol

a

valamilyen valós szám. Mivel a vektor

a

-szorosra változott,

a

-szorosra változnak a vetületek, s így azok összege is.
Ha pedig

\vec{P Q}

nem párhuzamos a tetraéder egyik élével sem, akkor felbontható három, a tetraéder 1‐1 oldalélével párhuzamos vektor összegére (hiszen ezek nem egy síkba eső vektorok). E komponensekre már tudjuk, hogy igaz az állítás, és mivel vektorok összegének egy síkra való vetülete egyenlő az egyes vektorok vetületének összegével, ebből következik, hogy az állítás e komponensek összegére is igaz.
Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Limbek Csaba (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján