Feladat: Gy.2077 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dringó László 
Füzet: 1983/április, 164 - 165. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térfogat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/október: Gy.2077

Egy négyoldalú ABCD gúla alapja olyan trapéz, amelyben AB=BC=CD=12AD. A gúla magasságának talppontja az alap átlóinak metszéspontjában van és az A, C csúcsokból kiinduló élek a gúla négyélű csúcsában derékszöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a trapéz AB oldalának hosszát a-val. A két alap nem lehet egyenlő hosszú, mert ekkor a szárak is egyenlő hosszúak volnának, noha a négy oldalból pontosan 3 egyenlő hosszúságú. Ezért a trapéz alapjai csak CB és AD lehetnek, az AB és CD szárak pedig egyenlő hosszúak. Egészítsük ki a trapézt háromszöggé, s jelöljük E-vel a szárak metszéspontját (1. ábra).

 

1. ábra
 
Mivel CBAD és CB=12AD, azért az AED háromszög szabályos és oldalának hossza 2a.
A BEC szabályos háromszög oldala fele az ADE háromszög oldalának, tehát területe negyede annak. A trapéz területe így
TABCD=34TADE=3a234.(1)

Jelöljük a trapéz átlóinak metszéspontját M'-vel. A B pont felezi az AE szakaszt, hasonlóan C felezi DE-t. Így M' az ADE szabályos háromszög középpontja, tehát
AM'=23AC=2a3,(2)CM'=13AC=a3.



A gúla négyélű csúcsát jelölje M. A feladat szerint M merőleges vetülete az ABCD lapra éppen M', tehát MM' az AMC háromszög magassága (2. ábra).
 

2. ábra
 
Ugyancsak a feltételek szerint AMC=90, a derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek és (2) alapján
MM'=AM'M'C=a23,AM=AM'AC=a2(3)CM=CM'CA=a.

A gúla V térfogatát most már ki tudjuk számítani :
V=TABCDMM'3=a324.

A gúla felszínét a határoló lapok területének összege adja, melyek közül az alaplap területét már ismerjük.
 

3. ábra
 
Az MM'B és az MM'C, valamint az MM'A és az MM'D háromszögek egybevágók (3. ábra), s így MB=MC, MA=MD. A BCM háromszög mindhárom oldala éppen a, így területe
TBCM=a234.

Az AMD háromszög egyenlő szárú, s mivel MA2+MD2=4a2=AD2, Pitagorasz tételének megfordításából következik, hogy derékszögű is. Így
TAMD=a2a22=a2.

Végül az MAB és MCD háromszögek egybevágók és MA=MD=a2, AB=CD=a és MB=MC=a miatt szintén egyenlő szárú derékszögű háromszögek, és területük összege a2. A gúla felszíne tehát
F=3a234+a2+a234+a2=a23+2a2=a2(3+2).

 

 Dingó László (Budapest XI., Petőfi S. Ált. Isk. 8. o. t.)
 dolgozata alapján