Kezdőlap


Feladat:	Gy.2074	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benus Andrea
Füzet:	1983/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: Gy.2074

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha egy körhöz akár külső, akár belső ponton át húzunk szelőket, a megfelelő szelődarabok szorzata csak a pontnak és a körnek a helyzetétől függ, a szelők megválasztásától nem.

k_{1}

körhöz az

A

, valamint

C

pontból húzott

A E, A F

, illetve

C E

C F

szelőkre ennek alapján

\begin{matrix} A B \cdot A F = A D \cdot A E, E C \cdot B C = D C \cdot C F . \end{matrix}

Az első összefüggést a másodikkal elosztva (ezt lehet, hiszen a szereplő távolságok pozitívak), és átrendezve

\begin{matrix} \frac{A B}{C B} = \frac{A E \cdot E C \cdot A D}{A F \cdot C F \cdot D C} . \end{matrix}

Ebből már következik a bizonyítandó állítás, mivel

D A = D C

, külső pontból egy körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő.

Benus Andrea (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az oldalak nagyságrendjére vonatkozó kikötés biztosítja, hogy

A

k_{1}

kör külső,

C

pedig

k_{1}

belső pontja. Ezt azonban a bizonyítás során nem használtuk ki, az állítás akkor is igaz, ha pl.

B C > A C > A B

(lásd a 2. ábrát).
2. Belátható, hogy az

F

D

B

és

E

pontok pontosan akkor vannak egy körön, ha az

A B C

háromszög

B

-nél levő szöge

60^{\circ}

vagy

120^{\circ}