Feladat: Gy.2074 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benus Andrea 
Füzet: 1983/április, 162 - 163. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/október: Gy.2074

Legyen az ABC háromszögben BC<AC<AB. Messe a háromszög köré írható k kör A-beli érintője a BC egyenest E-ben. Messe továbbá a C-beli érintője az AB egyenest F-ben, és a két érintő metszéspontja legyen D. Mutassuk meg, hogy ha a D, E, F pontokon átmenő kör átmegy a B csúcson, akkor
AEAFCECF=BABC.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy ha egy körhöz akár külső, akár belső ponton át húzunk szelőket, a megfelelő szelődarabok szorzata csak a pontnak és a körnek a helyzetétől függ, a szelők megválasztásától nem.

A k1 körhöz az A, valamint C pontból húzott AE,AF, illetve CE, CF szelőkre ennek alapján
ABAF=ADAE,ECBC=DCCF.
Az első összefüggést a másodikkal elosztva (ezt lehet, hiszen a szereplő távolságok pozitívak), és átrendezve
ABCB=AEECADAFCFDC.
Ebből már következik a bizonyítandó állítás, mivel DA=DC, külső pontból egy körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő.
 

Benus Andrea (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., III. o. t.)

 

Megjegyzések. 1. Az oldalak nagyságrendjére vonatkozó kikötés biztosítja, hogy A a k1 kör külső, C pedig k1 belső pontja. Ezt azonban a bizonyítás során nem használtuk ki, az állítás akkor is igaz, ha pl. BC>AC>AB (lásd a 2. ábrát).
2. Belátható, hogy az F, D, B és E pontok pontosan akkor vannak egy körön, ha az ABC háromszög B-nél levő szöge 60 vagy 120.