Feladat: Gy.2025 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Danyi Pál 
Füzet: 1982/október, 69 - 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Prímszámok, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/január: Gy.2025

Jelölje Sn az első n prímszám összegét (S1=2, S2=5, S3=10 stb.). Bizonyítsuk be, hogy minden n-re található olyan m egész szám, amelyre
Snm2Sn+1.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük pn-nel az n-edik prímszámot, és legyen qn=2n-1 az n-edik páratlan szám. Rögzített n2 mellett legyen k tetszőleges pozitív egész, melyre

q1+q2+...+qk<Sn(2)
teljesül. Mivel q1=p1-1, ebből
q2+...+qkp2+...+pn
következik.
Itt mindkét oldalon 1-nél nagyobb különböző páratlan számok összege áll. Mivel a bal oldali számok szomszédosak, köztük a legnagyobb nem lehet nagyobb a jobb oldalon álló számok legnagyobbikánál:
qkpn
amiből következik, hogy
qk+1pn+1.
Adjuk ezt az egyenlőtlenséget (2)-höz, kapjuk, hogy
q1+q2+...+qk+qk+1<Sn+1.(3)

Mivel az első k+1 páratlan szám összege (k+1)2-nel egyenlő, (3)-ból következik, hogy Snm2Sn+1 biztosan teljesül az m=k+1 számra, ha k-t a legnagyobb olyan számnak választjuk, amelyre még te]jesül (2). Mivel n=1 mellett m=2 eleget tesz Snm2Sn+1 -nek, a feladat állítását ezzel beláttuk.
 

Danyi Pál (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)