Kezdőlap


Feladat:	Gy.2025	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Danyi Pál
Füzet:	1982/október, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Prímszámok, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: Gy.2025

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $p_{n}$ -nel az $n$ -edik prímszámot, és legyen $q_{n} = 2 n - 1$ az $n$ -edik páratlan szám. Rögzített $n \geq 2$ mellett legyen $k$ tetszőleges pozitív egész, melyre

\begin{matrix} q_{1} + q_{2} + ... + q_{k} < S_{n} \end{matrix}

(2)

teljesül. Mivel

q_{1} = p_{1} - 1

, ebből

\begin{matrix} q_{2} + ... + q_{k} \leq p_{2} + ... + p_{n} \end{matrix}

következik.
Itt mindkét oldalon 1-nél nagyobb különböző páratlan számok összege áll. Mivel a bal oldali számok szomszédosak, köztük a legnagyobb nem lehet nagyobb a jobb oldalon álló számok legnagyobbikánál:

\begin{matrix} q_{k} \leq p_{n} \end{matrix}

amiből következik, hogy

\begin{matrix} q_{k + 1} \leq p_{n + 1} . \end{matrix}

Adjuk ezt az egyenlőtlenséget (2)-höz, kapjuk, hogy

\begin{matrix} q_{1} + q_{2} + ... + q_{k} + q_{k + 1} < S_{n + 1} . \end{matrix}

(3)

Mivel az első

k + 1

páratlan szám összege

{(k + 1)}^{2}

-nel egyenlő, (3)-ból következik, hogy

S_{n} \leq m^{2} \leq S_{n + 1}

biztosan teljesül az

m = k + 1

számra, ha

k

-t a legnagyobb olyan számnak választjuk, amelyre még te]jesül (2). Mivel

n = 1

mellett

m = 2

eleget tesz

S_{n} \leq m^{2} \leq S_{n + 1}

-nek, a feladat állítását ezzel beláttuk.

Danyi Pál (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)