Feladat: Gy.1964 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Á. ,  Böröczky L. ,  Csúri Piroska ,  Dénes Gy. ,  Erdős L. ,  Fáth G. ,  Finta P. E. ,  Fülöp R. ,  Gellen Gabriella ,  Harnos Mária ,  Hőrkényi P. ,  Juhász I. ,  Kriston T. ,  Lampl Gy. ,  Lenzsér P. ,  Majoros Cs. ,  Miklós S. ,  Reisz F. ,  Simon P. ,  Strausz Gy. ,  Szabó T. ,  Szabó Z. ,  Szekeres G. ,  Takács Z. ,  Vadvári T. ,  Várnai L. 
Füzet: 1981/november, 144 - 146. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: Gy.1964

Jelöljük az ABC háromszög magasságpontját M-mel, és M-nek az AB felező pontjára vonatkozó tükörképét N-nel. Bizonyítsuk be, hogy ACM=BCN.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Előre kell bocsátanunk, hogy a feladat állítása csak abban az esetben igaz, ha a háromszög C-nél levő szöge hegyesszög.
Jelöljük O-val az ABC háromszög köré írható kör középpontját, és F-fel az AB oldal felezőpontját. Ha M-et az AB-re tükrözzük, majd az így kapott K pontot tükrözzük az AB oldal felező merőlegesére, akkor végeredményben az N ponthoz jutunk, mivel két egymásra merőleges egyenesre vonatkozó egymás utáni tengelyes tükrözés egyenértékű a tengelyek metszéspontjára vonatkozó tükrözéssel. Tudjuk, hogy K a háromszög köré írt körre esik, így N ugyancsak rajta van e körön, hiszen a háromszög köré írt kör szimmetrikus az AB oldal felező merőlegesére. A tükrözés folytán AK^=BN^.

 

1. ábra
 

Ha az ABC háromszög hegyesszögű (1. ábra), akkor C-t nem tartalmazza az AK^, BN^ ívek egyike sem, mivel az AB egyenes elválasztja C-t a K, N pontoktól. A kerületi szögek tétele értelmében ezért ACK=BCN. Mivel C, M, K egy egyenesbe esnek, és C nem választja el M-et K-tól, az ACK azonos az ACM-gel. Ebben az esetben tehát igaz az állítás.
Ha a C-nél levő szög továbbra is hegyesszög, de a háromszögnek mondjuk az A-nál levő szöge tompaszög, akkor aszerint, hogy O kisebb, egyenlő vagy nagyobb távolságra van az AB egyenestől, mint C, az AK^ kisebb, egyenlő vagy nagyobb AC^-nél (2a, 2b, 2c ábra).
Ha AK^ kisebb AC^-nél, akkor mivel AK^ nem tartalmazza C-t, ACK=BCN, és mivel C nem választja el M-et K-tól, ezért ACM=ACK (2a ábra).
 

2a ábra
 

A 2b ábrán látható esetben K egybeesik C-vel. Az AB-vel párhuzamos OC merőleges CM-re, tehát ACM érintőszárú kerületi szög, ezért ugyanakkora, mint a vele egyenlő íven nyugvó BCN kerületi szög.
 

2b ábra
 

A 2c ábra azt az esetet mutatja, amikor AK^ nagyobb AC^-nél. AK^ tartalmazza C-t, ACK ezért a BCN kiegészítő szöge, de kiegészítő szöge az ACM-nek is, hiszen C elválasztja M-et K-tól. Ezek szerint ACM=BCN.
 

2c ábra
 

Tehát mindhárom esetben igaz a bizonyítandó állítás. Hasonló megállapításokat tehetünk akkor is, ha az ABC háromszögnek B-nél van tompaszöge.
Ha az ABC háromszög A-nál vagy B-nél levő szöge derékszög, akkor M a derékszög csúcsával, N pedig az AB másik végpontjával esik egybe. Mindkét esetben közvetlenül ellenőrizhető, hogy az állítás teljesül.
Ha C-nél tompaszög van, akkor ugyan fennáll, hogy ACK=BCN, de C elválasztja K-t és M-et, így az ACM kiegészítő szöge az ACK-nek, ami nem lehet 90-os, ezért ACMBCN (3. ábra).
 

3. ábra
 

Végül nézzük azt az esetet, amikor C-nél derékszög van. Ekkor C és M egybeesnek, ezért az ACM-ről nincs is értelme beszélni, míg a BCN jól meghatározott szög. Következésképp ebben az esetben sem igaz az állítás.
 

Megjegyzés. A megoldók nagy része igaznak találta az állítást, mivel csak hegyesszögű háromszöggel foglalkozott, és erre az esetre sikerült is azt bebizonyítania. Ezek dolgozatára kevesebb pontot adtunk, mint azokéra, akik a tompaszögű esetet is megvizsgálták.