|
Feladat: |
Gy.1964 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bogár Á. , Böröczky L. , Csúri Piroska , Dénes Gy. , Erdős L. , Fáth G. , Finta P. E. , Fülöp R. , Gellen Gabriella , Harnos Mária , Hőrkényi P. , Juhász I. , Kriston T. , Lampl Gy. , Lenzsér P. , Majoros Cs. , Miklós S. , Reisz F. , Simon P. , Strausz Gy. , Szabó T. , Szabó Z. , Szekeres G. , Takács Z. , Vadvári T. , Várnai L. |
Füzet: |
1981/november,
144 - 146. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/február: Gy.1964 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előre kell bocsátanunk, hogy a feladat állítása csak abban az esetben igaz, ha a háromszög -nél levő szöge hegyesszög. Jelöljük -val az háromszög köré írható kör középpontját, és -fel az oldal felezőpontját. Ha -et az -re tükrözzük, majd az így kapott pontot tükrözzük az oldal felező merőlegesére, akkor végeredményben az ponthoz jutunk, mivel két egymásra merőleges egyenesre vonatkozó egymás utáni tengelyes tükrözés egyenértékű a tengelyek metszéspontjára vonatkozó tükrözéssel. Tudjuk, hogy a háromszög köré írt körre esik, így ugyancsak rajta van e körön, hiszen a háromszög köré írt kör szimmetrikus az oldal felező merőlegesére. A tükrözés folytán .
1. ábra Ha az háromszög hegyesszögű ( ábra), akkor -t nem tartalmazza az , ívek egyike sem, mivel az egyenes elválasztja -t a , pontoktól. A kerületi szögek tétele értelmében ezért . Mivel , , egy egyenesbe esnek, és nem választja el -et -tól, az azonos az -gel. Ebben az esetben tehát igaz az állítás. Ha a -nél levő szög továbbra is hegyesszög, de a háromszögnek mondjuk az -nál levő szöge tompaszög, akkor aszerint, hogy kisebb, egyenlő vagy nagyobb távolságra van az egyenestől, mint , az kisebb, egyenlő vagy nagyobb -nél (a, b, c ábra). Ha kisebb -nél, akkor mivel nem tartalmazza -t, , és mivel nem választja el -et -tól, ezért (a ábra).
2a ábra A b ábrán látható esetben egybeesik -vel. Az -vel párhuzamos merőleges -re, tehát érintőszárú kerületi szög, ezért ugyanakkora, mint a vele egyenlő íven nyugvó kerületi szög.
2b ábra A c ábra azt az esetet mutatja, amikor nagyobb -nél. tartalmazza -t, ezért a kiegészítő szöge, de kiegészítő szöge az -nek is, hiszen elválasztja -et -tól. Ezek szerint .
2c ábra Tehát mindhárom esetben igaz a bizonyítandó állítás. Hasonló megállapításokat tehetünk akkor is, ha az háromszögnek -nél van tompaszöge. Ha az háromszög -nál vagy -nél levő szöge derékszög, akkor a derékszög csúcsával, pedig az másik végpontjával esik egybe. Mindkét esetben közvetlenül ellenőrizhető, hogy az állítás teljesül. Ha -nél tompaszög van, akkor ugyan fennáll, hogy , de elválasztja -t és -et, így az kiegészítő szöge az -nek, ami nem lehet -os, ezért ( ábra).
3. ábra Végül nézzük azt az esetet, amikor -nél derékszög van. Ekkor és egybeesnek, ezért az -ről nincs is értelme beszélni, míg a jól meghatározott szög. Következésképp ebben az esetben sem igaz az állítás. Megjegyzés. A megoldók nagy része igaznak találta az állítást, mivel csak hegyesszögű háromszöggel foglalkozott, és erre az esetre sikerült is azt bebizonyítania. Ezek dolgozatára kevesebb pontot adtunk, mint azokéra, akik a tompaszögű esetet is megvizsgálták. |
|