Feladat: Gy.1950 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bezdán S. ,  Csordás A. ,  Demeter J. ,  Erdős L. ,  Finta P. E. ,  Forgács Tímea ,  Fóris Z. ,  Gulyás Éva ,  Gyenis Vera ,  Hegedüs Andrea ,  Krausz P. ,  Kutasi J. ,  Majoros Cs. ,  Papp P. ,  Ribár L. ,  Szabó T. ,  Szigeti A. ,  Tóth Ildikó ,  Tüth L. ,  Tömpe L. ,  Törőcsik J. ,  Vándorffy J. 
Füzet: 1981/szeptember, 16 - 17. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/január: Gy.1950

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
x13+1-x13=32.(1)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet mindkét oldalát köbre emelve, majd felhasználva az (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) azonosságot, kapjuk, hogy

x(1-x)3(x3+1-x3)=1924.(2)

Itt az eredeti egyenlet szerint x3+1-x3=32, ezt (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy
32x(1-x)3=1924.(3)

Ebből újabb köbreemelés és rendezés után az
x2-x+(1936)3=0(4)
egyenletet kapjuk. Ennek gyökei:

x1=12+3152160,8209,x2=12-3152160,1791.



Az világos, hogy (1) gyökei (4)-nek is gyökei, tehát ha (1)-nek van gyöke, akkor az csak x1 vagy x2 lehet ‐ esetleg mindkettő. Az eddigiek alapján azonban még nem állíthatjuk, hogy x1 és x2 (1)-nek is gyökei, hisz a megoldás során (1)-et helyettesítettük (2)-be. Így abból, hogy például x1 gyöke (4)-nek, és így a vele ekvivalens (3)-nak, épp annak felhasználásával következne, hogy x1 (2)-nek, és így (1)-nek is gyöke, ha már tudnánk, hogy x13+1-x13=32. A megfordítás így csak önmagából következne, x1 akkor gyöke (1)-nek, ha gyöke (1)-nek. A körbezárult.
Felismerve, hogy x1=(9+512)3, és x2=1-x1=(9-512)3 a gyökök ellenőrzése behelyettesítéssel elvégezhető:
x13+1-x13=x23+1-x23=x13+x23=9+512+9-512=32.

Az egyenlet gyökei tehát: 12+315216 és 12-315216.
 

Megjegyzések. 1. A feladatra nagyon sok hiányos megoldás érkezett. Majdnem minden megoldó ekvivalens átalakításnak vélte x3+1-x3 ,,visszahelyettesítését''. Egy másik gyakori hiba a gyökök ellenőrzésekor fordult elő. Többen közelítő értékkel számoltak, de eredményük hiába közelítette a 32t akár több értékes jegyre is, ebből elvileg semmi nem következik.
2. Az alábbi példa mutatja, hogy a ,,kritikus'' átalakítás valóban nem feltétlenül ekvivalens. Nem olyan tévedésről van tehát szó, amely csak elvben vezethet hibához! Ha az
x3+1-x3=-123(1')
egyenletből indulunk ki, akkor a megoldásban követett módszer most a
4x2-4x+1=0(4')
másodfokú egyenletre vezet. Ennek x=12 gyöke, ámde ez láthatóan nem gyöke (1')-nek, (már csak azért sem, mert annak nincs gyöke). (F. T.)