Kezdőlap


Feladat:	Gy.1950	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bezdán S. , Csordás A. , Demeter J. , Erdős L. , Finta P. E. , Forgács Tímea , Fóris Z. , Gulyás Éva , Gyenis Vera , Hegedüs Andrea , Krausz P. , Kutasi J. , Majoros Cs. , Papp P. , Ribár L. , Szabó T. , Szigeti A. , Tóth Ildikó , Tüth L. , Tömpe L. , Törőcsik J. , Vándorffy J.
Füzet:	1981/szeptember, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: Gy.1950

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet mindkét oldalát köbre emelve, majd felhasználva az ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$ azonosságot, kapjuk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[3]{x (1 - x)} (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 - x}) = \frac{19}{24} . \end{matrix}

(2)

Itt az eredeti egyenlet szerint

\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 - x} = \frac{3}{2}

, ezt (2)-be helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{3}{2} \sqrt[3]{x (1 - x)} = \frac{19}{24} . \end{matrix}

(3)

Ebből újabb köbreemelés és rendezés után az

\begin{matrix} x^{2} - x + {(\frac{19}{36})}^{3} = 0 \end{matrix}

(4)

egyenletet kapjuk. Ennek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{31 \sqrt[]{5}}{216} \approx 0,8209, \\ x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{31 \sqrt[]{5}}{216} \approx 0,1791. \end{matrix}

Az világos, hogy (1) gyökei (4)-nek is gyökei, tehát ha (1)-nek van gyöke, akkor az csak

x_{1}

vagy

x_{2}

lehet ‐ esetleg mindkettő. Az eddigiek alapján azonban még nem állíthatjuk, hogy

x_{1}

és

x_{2}

(1)-nek is gyökei, hisz a megoldás során (1)-et helyettesítettük (2)-be. Így abból, hogy például

x_{1}

gyöke (4)-nek, és így a vele ekvivalens (3)-nak, épp annak felhasználásával következne, hogy

x_{1}

(2)-nek, és így (1)-nek is gyöke, ha már tudnánk, hogy

\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{1 - x_{1}} = \frac{3}{2}

. A megfordítás így csak önmagából következne,

x_{1}

akkor gyöke (1)-nek, ha gyöke (1)-nek. A körbezárult.
Felismerve, hogy

x_{1} = {(\frac{9 + \sqrt[]{5}}{12})}^{3}

, és

x_{2} = 1 - x_{1} = {(\frac{9 - \sqrt[]{5}}{12})}^{3}

a gyökök ellenőrzése behelyettesítéssel elvégezhető:

\begin{matrix} \sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{1 - x_{1}} = \sqrt[3]{x_{2}} + \sqrt[3]{1 - x_{2}} = \sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}} = \frac{9 + \sqrt[]{5}}{12} + \frac{9 - \sqrt[]{5}}{12} = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Az egyenlet gyökei tehát:

\frac{1}{2} + \frac{31 \sqrt[]{5}}{216}

és

\frac{1}{2} - \frac{31 \sqrt[]{5}}{216} .

Megjegyzések. 1. A feladatra nagyon sok hiányos megoldás érkezett. Majdnem minden megoldó ekvivalens átalakításnak vélte

\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 - x}

,,visszahelyettesítését''. Egy másik gyakori hiba a gyökök ellenőrzésekor fordult elő. Többen közelítő értékkel számoltak, de eredményük hiába közelítette a

\frac{3}{2}

t akár több értékes jegyre is, ebből elvileg semmi nem következik.
2. Az alábbi példa mutatja, hogy a ,,kritikus'' átalakítás valóban nem feltétlenül ekvivalens. Nem olyan tévedésről van tehát szó, amely csak elvben vezethet hibához! Ha az

\begin{matrix} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 - x} = \sqrt[3]{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

(1')

egyenletből indulunk ki, akkor a megoldásban követett módszer most a

\begin{matrix} 4 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \end{matrix}

(4')

másodfokú egyenletre vezet. Ennek

x = \frac{1}{2}

gyöke, ámde ez láthatóan nem gyöke (1')-nek, (már csak azért sem, mert annak nincs gyöke). (F. T.)