Feladat: Gy.1919 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1981/január, 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat, Algebrai egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/szeptember: Gy.1919

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ha x, y, z, t nem negatív egészek:

x+y+z+t=5,(1)x+2y+5z+10t=17.(2)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második egyenletből kivonva az elsőt, kapjuk az eredetivel ekvivalens

x+y+z+t=5,(1)y+4z+9t=12(3)
egyenletrendszert.
A megoldások nem negatívak, így (3) alapján t1. Két esetet különböztetünk meg, aszerint, hogy t=1 vagy t=0.
a) Ha t=1, akkor egyenletrendszerünk így alakul:
x+y+z=4,(1a)y+4z=3.(3a)



(3a) alapján z<1, így z=0, és y=3, végül (1a) szerint x=1.
 

b) Ha t=0, akkor egyenletrendszerünk:
x+y+z=5,(1b)y+4z=12.(3b)



(3b) alapján y=12-4z, emiatt y osztható 4-gyel. Mivel (1b) szerint y5, így y=4, vagy y=0. Ha y=4, akkor z=2, de (1b)-ből y+z5 , tehát így nem kapunk gyököt.
Ha y=0, akkor z=3, így (1b)-ből x=2.
Minden lehetőséget végignéztünk, így az egyenletrendszernek két megoldása van. Ezek:
x1=1;y1=3;z1=0;t1=1,x2=2;y2=0;z2=3;t2=0.

 

Megjegyzés. Feladatunk átfogalmazható az alábbi ,,pénzváltási'' feladatra: hányféleképpen fizethető ki 5 darab érmével 17 forint, ha a rendelkezésünkre álló címletek: 1, 2, 5 és 10 forintos.