Feladat: Gy.1917 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1981/január, 17 - 18. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat, Síkgeometriai bizonyítások, Szabályos sokszögek geometriája
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/május: Gy.1917

Az egység sugarú O középpontú k körbe rajzolt ABC,ADE egyenlő szárú háromszögek BC és DE alapja merőleges az AO sugárra. A hozzájuk tartozó magasságok hossza rendre 1/2 és 5/4. B és D az AO egyenesnek ugyanazon oldalán vannak. Az OB, AD szakaszok metszéspontja P,OC és AE metszéspontja Q. Mutassuk meg, hogy a PQ egyenes k-ból a k-ba írható A csúcsú szabályos 5-szög A-val szomszédos csúcsait metszi ki.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Növeljük négyszeresére a kör sugarát, hogy ne kelljen törtekkel számolnunk, és jelöljük B-nek, D-nek, P-nek az AO egyenesen levő vetületét B0-lal, D0-lal, P0-lal.


Először megmutatjuk, hogy P0D0=5. Pitagorász tétele alapján ugyanis DD0=15, és ha a P, P0 pontokat eleve P0D0=5 alapján jelöljük ki, akkor
PP0=DD0AP0AD0=155-55=3(5-1),
vagyis PP0=3OP0, és emiatt az így kijelölt P pont mellett OP valóban átmegy B-n.
Rajzoljuk még meg az O középpontú 2 sugarú k0 kört, és legyen ennek OF az egyik OA-ra merőleges sugara. Mivel D0F hossza is 5, a P0 pont a k0 körbe írható szabályos öt- és tízszög szokásos megszerkesztésének is eleme. D0 ugyanis felezi k0 rajta átmenő sugarát, és P0 a D0F=5 hosszúságú szakasz leforgatásából származik. Emiatt OP0 a k0-ba írható szabályos tízszög oldala, vagyis ha az OP0 szakasz felező merőlegese k0-t R-ben metszi, akkor az OP0R egyenlő szárú háromszög alapján fekvő szögei 72-osak. Ezzel beláttuk,-hogy PP0 a k kört a k-ba írható szabályos ötszög A-val szomszédos S csúcsában metszi, hiszen S-t az OR sugár is kimetszi, k-ból.
 

Megjegyzés. Legyen az XYZ háromszögben XZ=YZ=2 és XYZ=72. Messe az X-beli szögfelező YZ-t V-ben.

Akkor XYZ és VYX hasonló háromszögek, és XY=XV=VZ. Jelöljük ez utóbbit z-vel, akkor az előbbi hasonlóság miatt (2-z):z=z:2, vagyis z2+2z-4=0, z=-1±5, tehát z=5-1. Tehát a szokásos tízszögszerkesztésre való hivatkozás nélkül is látható, hogy OP0R a szabályos tízszög egy szelete.