Feladat: Gy.1907 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árkossy O. ,  Fóris Z. ,  Hideg Sz. ,  Holbok I. ,  Ittzés A. ,  Kerényi I. ,  Mikó Teréz ,  Molnár K. ,  Nagy B. ,  Nagy Z. ,  Peták T. ,  Regős Enikő ,  Rónai Z. ,  Szabó Z. ,  Szállási Z. ,  Szöllősi Gy. ,  Tóth G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1981/február, 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körök, Gyakorlat, Magasságvonal, Magasságpont
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/április: Gy.1907

Adott a síkban a k1, k2, k3 és k kör úgy, hogy k1, k2 és k3 középpontja a k körön van. Ugyancsak k-n van a k1 és k2, a k2 és k3, illetve a k3 és k1 körpárok egyik metszéspontja is. Milyen feltétel mellett lesz a k1, k2, k3 köröknek közös pontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a ki kör középpontját Ki-vel, ki-nek kj-vel és k-val alkotott metszéspontját Mij-vel (i,j=1,2,3;ij). Ha az M12, M23, M31 pontok közül kettő azonos, a harmadik is azonos velük, és ez a három kör közös pontja. A továbbiakban feltesszük, hogy ez a három pont különböző. Mivel a ki, kj körök szimmetrikusan helyezkednek el a középpontjaikon átmenő KiKj egyenesre nézve, a másik metszéspontjuk Mij-nek a KiKj-re vonatkozó tükörképe. Mivel feltevésünk szerint Mij a k-n van, ki és kj másik metszéspontja rajta van k-nak KiKj-re vonatkozó tükörképén. Jelöljük ezt kij-vel. Eszerint a k1, k2, k3 köröknek csak akkor van közös pontja, ha a k12, k23, k31 köröknek van közös pontja, és a két közös pont csak azonos lehet.


Tekintsük a K1K2K3 háromszöget, és jelöljük benne a Ki-n átmenő magasságvonalat mi-vel (i=1,2,3). Ha az m1, m2 egyeneseket a K1K2 szakasz felezőpontjára tükrözzük, Thalész tétele szerint a k-ban K3-mal átellenes K3* -on átmenő egyeneseket kapunk. Emiatt a háromszög M magasságpontjának K1K2-re vonatkozó tükörképe rajta van k-n, hiszen azonos K3*-nak K1K2 felezőmerőlegesére vonatkozó tükörképével. Megfordítva, k-nak a K1K2-re vonatkozó k12 tükörképe átmegy M-en, tehát a k12, k23, k31 köröknek tetszőleges K1K2K3 háromszögben a háromszög M magasságpontja a közös pontja. Mint láttuk, csakis ez lehet a k1, k2, k3 közös pontja is. A szóban forgó k1, k2, k3 köröknek tehát akkor és csakis akkor van közös pontjuk, ha átmennek a középpontjaik által meghatározott háromszög magasságpontján, vagy mindhárom átmegy k-nak egyazon a pontján.