Feladat: Gy.1902 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Árkossy O. ,  Bogár Á. ,  Böröczky K. ,  Csúri Piroska ,  Csörgő T. ,  Danyi P. ,  Fekete Zs. ,  Genczler Judit ,  Kerényi I. ,  Kocsis Csilla ,  Lenkó Cs. ,  Megyesi G. ,  Mikó Teréz ,  Mohay T. ,  Nagy 681 B. ,  Regős Enikő ,  Tóth 360 G. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1980/október, 72 - 73. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/április: Gy.1902

Bizonyítsuk be, hogy ha m és n egészekre teljesül, hogy
(2-1)nm-m-1,(1)
akkor mn2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük mindkét oldal reciprokát (1)-ben, és (2-1) reciproka helyére írjuk a vele egyenlő (2+1)-et, m-m-1 reciproka helyére a (m+m-1)-et:

(2+1)nm+m-1.(2)
Mivel nyilvánvalóan
m+m-1<2m,(3)
igazoljuk állításunkat, ha belátjuk, hogy
2n<(2+1)n.(4)
Valóban, a (2), (3), (4) egyenlőtlenségekből n<m következik, és ebből ‐ legalábbis n0 mellett ‐ a bizonyítandó állítást kapjuk. Állításunk negatív n-re nem igaz, hiszen ekkor (1) semmitmondó, a feladat szövegében "egészek'' helyett pozitív "egészeket'' kellett volna írni.
Hátra van még (4) igazolása, most nyilván feltehetjük, hogy n pozitív egész. Írjuk a bal oldalon 2n helyére a szomszédos páros számok hányadosának a szorzatát:
2n=24264...2n2n-2.
Itt a tényezők száma n, és fokozatosan csökkennek, hiszen általában
kk-2>k+2k.
A tényezők közül már a legelső is kisebb 1+2-nél, így szorzatuk biztosan kisebb (1+2)n-edik hatványánál.