Kezdőlap


Feladat:	Gy.1902	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Árkossy O. , Bogár Á. , Böröczky K. , Csúri Piroska , Csörgő T. , Danyi P. , Fekete Zs. , Genczler Judit , Kerényi I. , Kocsis Csilla , Lenkó Cs. , Megyesi G. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nagy 681 B. , Regős Enikő , Tóth 360 G. , Tranta Beáta , Törőcsik J.
Füzet:	1980/október, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/április: Gy.1902

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük mindkét oldal reciprokát (1)-ben, és $(\sqrt[]{2} - 1)$ reciproka helyére írjuk a vele egyenlő $(\sqrt[]{2} + 1)$ -et, $\sqrt[]{m} - \sqrt[]{m - 1}$ reciproka helyére a $(\sqrt[]{m} + \sqrt[]{m - 1})$ -et:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{2} + 1)}^{n} \leq \sqrt[]{m} + \sqrt[]{m - 1} . \end{matrix}

(2)

Mivel nyilvánvalóan

\begin{matrix} \sqrt[]{m} + \sqrt[]{m - 1} < 2 \sqrt[]{m}, \end{matrix}

(3)

igazoljuk állításunkat, ha belátjuk, hogy

\begin{matrix} 2 n < {(\sqrt[]{2} + 1)}^{n} . \end{matrix}

(4)

Valóban, a (2), (3), (4) egyenlőtlenségekből

n < \sqrt[]{m}

következik, és ebből ‐ legalábbis

n \geq 0

mellett ‐ a bizonyítandó állítást kapjuk. Állításunk negatív

n

-re nem igaz, hiszen ekkor (1) semmitmondó, a feladat szövegében "egészek'' helyett pozitív "egészeket'' kellett volna írni.
Hátra van még (4) igazolása, most nyilván feltehetjük, hogy

n

pozitív egész. Írjuk a bal oldalon

2 n

helyére a szomszédos páros számok hányadosának a szorzatát:

\begin{matrix} 2 n = 2 \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{4} \cdot ... \cdot \frac{2 n}{2 n - 2} . \end{matrix}

Itt a tényezők száma

n

, és fokozatosan csökkennek, hiszen általában

\begin{matrix} \frac{k}{k - 2} > \frac{k + 2}{k} . \end{matrix}

A tényezők közül már a legelső is kisebb

1 + \sqrt[]{2}

-nél, így szorzatuk biztosan kisebb

(1 + \sqrt[]{2}) n

-edik hatványánál.