Feladat: Gy.1898 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/november, 147 - 149. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Sík parkettázás, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/március: Gy.1898

Mutassuk meg, hogy létezik olyan egyenlő oldalú 9-szög, melynek szögei rendre 60, 105, 165, 165, 165, 15, 195, 195, 195. Lefedhető-e ilyen egybevágó lapocskákkal a sík egyrétűen és hézagtalanul?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük egy szabályos 24-szög 5 egymás utáni csúcsát, A1, A2, A3, A4, A5-öt. Jelöljük a 24-szög köré írható kör középpontját O-val. Az A1A2A3A4A5O hatszögben A1OA5=3606=60, azaz A1OA5 háromszög szabályos.

 
 

Forgassuk el az A1A2A3A4A5 töröttvonalat A1 körül 60-kal befele (azaz a sokszög belseje felé), s jelöljük az elforgatott pontokat rendre A1, A'2, A'3, A'4, A'5-vel. Majd forgassuk el az A2A3A4A5A6 töröttvonalat A2 körül ugyancsak 60-kal befele. Az elforgatott pontok legyenek A2, A''3, A''4, A''5, A''6. Mivel A1OA5 és A2OA6 is szabályos háromszögek, A'5=O=A''6. Az így kapott A1A'2A'3A'4OA''5A''4A''3A''29-szögről belátjuk, hogy megfelel a feladat feltételeinek. Oldalai nyilván egyenlők. A szabályos 24-szög szögei 165-osak; ezért A''3=A''4=A''5=165. Az A'2, A'3 és A'4 csúcsokban a 9-szög konkáv szögei fekszenek, azaz ezek a szögek 360-165=195-osak. A forgatás miatt A2A1A'2=A3A2A''3-60, ahonnan A1A2A''3=165=-60=105, és végül A'4OA''5=15. Vagyis A1A'2A'3A'4OA''5A''4A''3A2 olyan egyenlő oldalú 9-szög, melynek szögei rendre 195, 195, 195, 15, 165, 165, 165, 105, 60.
Most belátjuk, hogy a sík lefedhető egyrétűen és hézagtalanul ilyen egybevágó lapocskákkal. Rakjunk két 9-szöget egymás mellé úgy, hogy a 15-os szöghöz csatlakozzék a következő 9-szögnek az első 165-os szöge. Mivel 15+165=180, e pontok egy egyenesbe esnek. Az alakzat másik végén egy " fésűfog''-szerű nyílás marad. Illesszünk mindkét idom mellé az előzőhöz képest 180-kal elforgatott 9-szögeket, az ábra szerint. Az illeszkedések mentén valóban nem keletkeznek hézagok, hiszen a közbülső csúcsokban egy 165-os és egy 195-os szög találkozik. Mivel ezek összege 360, a találkozási pontban kitöltik a síkot. Végül a fésűs csúcsban a szögek összege 105+60+195, ugyancsak 360. A négy 9-szög együttesen, tehát lefed egy sávot, ilyen sávokkal pedig ki tudjuk tölteni a síkot a kívánt módon.
 
 
1. ábra
 

 
 
2. ábra
 

Megjegyzés: Ezzel az elhelyezéssel párhuzamos egyenesek által határolt sávokat fedtünk le (2. ábra).
Számos olyan lefedése található a síknak, melyben az adott alakzatok egy középpont körül spirál alakban helyezkednek el. Először csak olyan spirálokat találtak, amelyekben a középpontból páros számú "kar'' indult ki. Két évvel ezelőtt találtak olyan spirált, melyben a középpontból páratlan számú kar indult ki. Ilyen spirálokat mutatnak az alábbi és a borító 4. oldalán levő ábrák. Az ezeket határoló sávok oldalvonalai mindkét irányban 15-kal vagy annak többszörösével meg vannak törve. [Az ábrákat a Mathematics Teaching (Anglia) folyóirat 1979. évi szeptemberi számából vettük ki.]
 

 
 
Spirál‐csempézés ‐ Az ábra a sík ‐ egy bizonyos fajta
9-szöggel való ‐ kitöltését mutatja, mely az 1898. gyakorlat
megoldásával kapcsolatos. (A hátsó borító ábrája kicsinyítve)