A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük egy szabályos 24-szög 5 egymás utáni csúcsát, , , , , -öt. Jelöljük a 24-szög köré írható kör középpontját -val. Az hatszögben , azaz háromszög szabályos.
Forgassuk el az töröttvonalat körül -kal befele (azaz a sokszög belseje felé), s jelöljük az elforgatott pontokat rendre , , , , -vel. Majd forgassuk el az töröttvonalat körül ugyancsak -kal befele. Az elforgatott pontok legyenek , , , , . Mivel és is szabályos háromszögek, . Az így kapott -szögről belátjuk, hogy megfelel a feladat feltételeinek. Oldalai nyilván egyenlők. A szabályos 24-szög szögei -osak; ezért . Az , és csúcsokban a 9-szög konkáv szögei fekszenek, azaz ezek a szögek -osak. A forgatás miatt , ahonnan , és végül . Vagyis olyan egyenlő oldalú 9-szög, melynek szögei rendre , , , , , , , , . Most belátjuk, hogy a sík lefedhető egyrétűen és hézagtalanul ilyen egybevágó lapocskákkal. Rakjunk két 9-szöget egymás mellé úgy, hogy a -os szöghöz csatlakozzék a következő 9-szögnek az első -os szöge. Mivel , e pontok egy egyenesbe esnek. Az alakzat másik végén egy " fésűfog''-szerű nyílás marad. Illesszünk mindkét idom mellé az előzőhöz képest -kal elforgatott 9-szögeket, az ábra szerint. Az illeszkedések mentén valóban nem keletkeznek hézagok, hiszen a közbülső csúcsokban egy -os és egy -os szög találkozik. Mivel ezek összege , a találkozási pontban kitöltik a síkot. Végül a fésűs csúcsban a szögek összege , ugyancsak . A négy 9-szög együttesen, tehát lefed egy sávot, ilyen sávokkal pedig ki tudjuk tölteni a síkot a kívánt módon.
1. ábra
Megjegyzés: Ezzel az elhelyezéssel párhuzamos egyenesek által határolt sávokat fedtünk le (2. ábra). Számos olyan lefedése található a síknak, melyben az adott alakzatok egy középpont körül spirál alakban helyezkednek el. Először csak olyan spirálokat találtak, amelyekben a középpontból páros számú "kar'' indult ki. Két évvel ezelőtt találtak olyan spirált, melyben a középpontból páratlan számú kar indult ki. Ilyen spirálokat mutatnak az alábbi és a borító 4. oldalán levő ábrák. Az ezeket határoló sávok oldalvonalai mindkét irányban -kal vagy annak többszörösével meg vannak törve. [Az ábrákat a Mathematics Teaching (Anglia) folyóirat 1979. évi szeptemberi számából vettük ki.]
Spirál‐csempézés ‐ Az ábra a sík ‐ egy bizonyos fajta 9-szöggel való ‐ kitöltését mutatja, mely az 1898. gyakorlat megoldásával kapcsolatos. (A hátsó borító ábrája kicsinyítve) |