Kezdőlap


Feladat:	Gy.1898	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1980/november, 147 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Sík parkettázás, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: Gy.1898

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük egy szabályos 24-szög 5 egymás utáni csúcsát, $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ , $A_{5}$ -öt. Jelöljük a 24-szög köré írható kör középpontját $O$ -val. Az $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} O$ hatszögben $A_{1} O A_{5} ∢ = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$ , azaz $A_{1} O A_{5}$ háromszög szabályos.

Forgassuk el az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}

töröttvonalat

A_{1}

körül

60^{\circ}

-kal befele (azaz a sokszög belseje felé), s jelöljük az elforgatott pontokat rendre

A_{1}

A'_{2}

A'_{3}

A'_{4}

A'_{5}

-vel. Majd forgassuk el az

A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}

töröttvonalat

A_{2}

körül ugyancsak

60^{\circ}

-kal befele. Az elforgatott pontok legyenek

A_{2}

A''_{3}

A''_{4}

A''_{5}

A''_{6}

. Mivel

A_{1} O A_{5}

és

A_{2} O A_{6}

is szabályos háromszögek,

A'_{5} = O = A''_{6}

. Az így kapott

A_{1} A'_{2} A'_{3} A'_{4} O A''_{5} A''_{4} A''_{3} A''_{2} 9

-szögről belátjuk, hogy megfelel a feladat feltételeinek. Oldalai nyilván egyenlők. A szabályos 24-szög szögei

165^{\circ}

-osak; ezért

A''_{3} ∢ = A''_{4} ∢ = A''_{5} ∢ = 165^{\circ}

. Az

A'_{2}

A'_{3}

és

A'_{4}

csúcsokban a 9-szög konkáv szögei fekszenek, azaz ezek a szögek

360^{\circ} - 165^{\circ} = 195^{\circ}

-osak. A forgatás miatt

A_{2} A_{1} A'_{2} ∢ = A_{3} A_{2} A''_{3} ∢ - 60^{\circ}

, ahonnan

A_{1} A_{2} A''_{3} ∢ = 165^{\circ} = - 60^{\circ} = 105^{\circ}

, és végül

A'_{4} O A''_{5} ∢ = 15^{\circ}

. Vagyis

A_{1} A'_{2} A'_{3} A'_{4} O A''_{5} A''_{4} A''_{3} A_{2}

olyan egyenlő oldalú 9-szög, melynek szögei rendre

195^{\circ}

195^{\circ}

195^{\circ}

15^{\circ}

165^{\circ}

165^{\circ}

165^{\circ}

105^{\circ}

60^{\circ}

.
Most belátjuk, hogy a sík lefedhető egyrétűen és hézagtalanul ilyen egybevágó lapocskákkal. Rakjunk két 9-szöget egymás mellé úgy, hogy a

15^{\circ}

-os szöghöz csatlakozzék a következő 9-szögnek az első

165^{\circ}

-os szöge. Mivel

15^{\circ} + 165^{\circ} = 180^{\circ}

, e pontok egy egyenesbe esnek. Az alakzat másik végén egy " fésűfog''-szerű nyílás marad. Illesszünk mindkét idom mellé az előzőhöz képest

180^{\circ}

-kal elforgatott 9-szögeket, az ábra szerint. Az illeszkedések mentén valóban nem keletkeznek hézagok, hiszen a közbülső csúcsokban egy

165^{\circ}

-os és egy

195^{\circ}

-os szög találkozik. Mivel ezek összege

360^{\circ}

, a találkozási pontban kitöltik a síkot. Végül a fésűs csúcsban a szögek összege

105^{\circ} + 60^{\circ} + 195^{\circ}

, ugyancsak

360^{\circ}

. A négy 9-szög együttesen, tehát lefed egy sávot, ilyen sávokkal pedig ki tudjuk tölteni a síkot a kívánt módon.

1. ábra

2. ábra

Megjegyzés: Ezzel az elhelyezéssel párhuzamos egyenesek által határolt sávokat fedtünk le (2. ábra).
Számos olyan lefedése található a síknak, melyben az adott alakzatok egy középpont körül spirál alakban helyezkednek el. Először csak olyan spirálokat találtak, amelyekben a középpontból páros számú "kar'' indult ki. Két évvel ezelőtt találtak olyan spirált, melyben a középpontból páratlan számú kar indult ki. Ilyen spirálokat mutatnak az alábbi és a borító 4. oldalán levő ábrák. Az ezeket határoló sávok oldalvonalai mindkét irányban

15^{\circ}

-kal vagy annak többszörösével meg vannak törve. [Az ábrákat a Mathematics Teaching (Anglia) folyóirat 1979. évi szeptemberi számából vettük ki.]

Spirál‐csempézés ‐ Az ábra a sík ‐ egy bizonyos fajta
9-szöggel való ‐ kitöltését mutatja, mely az 1898. gyakorlat
megoldásával kapcsolatos. (A hátsó borító ábrája kicsinyítve)