Feladat: Gy.1819 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Andrássy P. ,  Balázs Ildikó ,  Beleznay F. ,  Bohus G. ,  Bölcsföldi L. ,  Cselők L. ,  Czifra A. ,  Danyi P. ,  Dzvonyár P. ,  Elek G. ,  Gárdos L. ,  Halász P. ,  Hollósi J. ,  Kaffka Erzsébet ,  Kántor Zs. ,  Kapos L. ,  Kelemen B. ,  Király Z. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss 712 E. ,  Kovács 134 I. ,  Lerch A. ,  Lipusz Cs. ,  Magyar G. ,  Megyei L. ,  Mészáros Gy. ,  Ódor T. ,  Pócs Gy. ,  Poppe A. ,  Seres István ,  Simonyi G. ,  Szabó E. ,  Szegedy P. ,  Szirmay L. ,  Tuba Z. ,  Umann G. ,  Vonderviszt L. ,  Zsilinszky L. 
Füzet: 1979/december, 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlyvonal, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/február: Gy.1819

Legyen X az ABC háromszög BC oldalának egy pontja, X' az a pont, ahol az AX egyenes a háromszög köré írt körét másodszor metszi. Igazoljuk vagy cáfoljuk a következő állítást. Ha XX' hossza maximális, akkor AX az A-ból húzott súlyvonal és belső szögfelező között helyezkedik el.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük az ABC háromszöget úgy magunk elé, hogy a BC oldala vízszintes legyen, és az A csúcs a BC fölé kerüljön. Most még nyilván feltehetjük, hogy ABAC. Jelöljük BC felezőpontját F-fel, A-nak BC-n levő vetületét G-vel, ABC köré írt körét k-val, BC felező merőlegese messe, továbbá k-t D-ben és E-ben (közülük D legyen BC alatt), végül BC és AD metszéspontja legyen H. Igazolni fogjuk a mondott állítást, mégpedig úgy; hogy megmutatjuk, ha X a BH szakaszon van, akkor XX'<HD, ha pedig X az FC szakaszon van, akkor XX'<FF', ahol F' az AF és k második metszéspontja.

 
 

Mint ismeretes, k-nak X-en átmenő húrjainak a darabjaira
BXXC=AXXX'
érvényes, és itt BXXC=(BF-FX)(BF+FX)=BF2-FX2. Ha tehát X akár B, akár C felé mozogva távolodik F-től, BXXC értéke fogy. Közben AX értéke akkor nő, ha X távolodik G-től, ami mindig így van, ha X az FC-n mozog, ha pedig F-től B felé mozog, akkor azután következik be, ahogy X áthalad G-n. (Természetesen ha B-ben tompaszöge van azABC háromszögnek, akkor ez utóbbira soha nem kerül sor.) Emiatt XX' valóban kisebb FF'-nél, ha X az FC szakaszon van. Ha G a BC szakaszon van, és X ennek a BG részén, akkor XX'<GG', ahol G' a k és AG második metszéspontja. Végül ha X az F-től B felé haladva H-n már túljutott, de G-n még nem, akkor legyen Y az AX egyenesnek k D-beli d érintőjével való metszéspontja. Most az is igaz, hogy XY<HD, hiszen az AX egyenesnek a párhuzamos BC, d egyenespárral bezárt szöge nagyobb, mint az AH egyenesnek.