Feladat: Gy.1789 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Mármarosi József 
Füzet: 1979/február, 68 - 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diszkusszió, Gyakorlat, Körök, Síkgeometriai szerkesztések
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/október: Gy.1789

Adott a síkon négy pont, amelyek nincsenek egy körön és semelyik három nincs egy egyenesen. Szerkesszünk olyan kört, amely mind a négy ponttól egyenlő távolságra van. Legfeljebb hány ilyen tulajdonságú kör van ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a pontokat P1, P2, P3 és P4-gyel, a feltételt kielégítő kört k-val, sugarát r-rel és a pontoktól való távolságát d-vel. A négy pont mindegyike nem lehet a k körön kívül, mert akkor k középpontjától való távolságuk r+ +d lenne, ami azt jelentené, hogy a 4 pont egy körön van, ami ellentmond a feltételnek. Hasonlóképpen nem lehet a 4 pont mindegyike a k körön belül sem. A pontok tehát a k körhöz képest a következőképpen helyezkednek el: vagy 3 a k körön belül van és egy kívül (vagy fordítva), vagy 2 a körön belül, 2 pedig kívül van. Vizsgáljuk meg mindkét esetben a lehetséges megoldások számát.
Először válasszunk ki 3 pontot, mivel ezek nincsenek egy egyenesen, meghatároznak egy k1 kört, melynek sugara r1. Ezután olyan kört kell szerkesztenünk, amelyik k1-től is és a negyedik ponttól is egyenlő távolságra van. Ez nyilván egyközepű lesz k1-gyel, és sugara r1+d, ha P4 a k1-en kívül van (1. ábra), illetve r1-d, ha P4 k1-en belül, ahol d fele akkora, mint P4-nek a k1 körtől való távolsága. Az így kapott k kör eleget tesz a feltételnek, hiszen mindegyik ponttól d távolságra van. Ily módon annyi megoldást kapunk, ahányféleképpen 4 pont közül ki tudunk választani 3-at. Ez 4 lehetőség.

 

 
1. ábra

 

Most vizsgáljuk azt az esetet, amikor két pont a keresett k körön kívül fekszik, legyen ez P1, P2 és kettő belül, P3, P4. P1 és P2-nek k-tól való távolsága most r+d, P3 és P4-nek r-d. Két ponton átmenő kör középpontja mindig rajta van a két pont által meghatározott szakasz felező merőlegesén, ha tehát meghúzzuk a két kiválasztott szakasz felező merőlegesét, ezek metszéspontja ‐ amennyiben létrejön ‐ megadja a k kör O középpontját, hiszen k most is egyközepű a P1, P2, ill. P3, P4 ponton átmenő körökkel, és sugara O-nak a szakaszok végpontjától vett távolságainak számtani közepe (2. ábra). A 4 pont összesen 3 különböző szakaszpárt határoz meg, a feladatnak így legfeljebb még 3 megoldását kapjuk. Ha a 4 pont paralelogrammát alkot, akkor csak 1 megoldás van ‐ hacsak nem négyzet vagy téglalap, de ezt a feladat szövege kizárta ‐, mert a párhuzamos oldalak felező merőlegesei nem metszik egymást. Trapéz esetén 2 megoldást kapunk, kivéve ha a trapéz szimmetrikus, akkor a felező merőlegesek egybeesnek és végtelen sok megoldás van. De mivel a szimmetrikus trapéz köré írható kör, ezt az esetet is kizárja a feladat szövege.
Összesen tehát legfeljebb 7 megoldás lehetséges.
 

 
2. ábra

 
 Mármarosi József (Kisbér, Táncsics M. Gimn., II. o. t.)