Jelöljük a pontokat $P_1$, $P_2$, $P_3$ és $P_4$-gyel, a feltételt kielégítő kört $k$-val, sugarát $r$-rel és a pontoktól való távolságát $d$-vel. A négy pont mindegyike nem lehet a $k$ körön kívül, mert akkor $k$ középpontjától való távolságuk $r+$ $+d$ lenne, ami azt jelentené, hogy a $4$ pont egy körön van, ami ellentmond a feltételnek. Hasonlóképpen nem lehet a $4$ pont mindegyike a $k$ körön belül sem. A pontok tehát a $k$ körhöz képest a következőképpen helyezkednek el: vagy $3$ a $k$ körön belül van és egy kívül (vagy fordítva), vagy $2$ a körön belül, $2$ pedig kívül van. Vizsgáljuk meg mindkét esetben a lehetséges megoldások számát.
Először válasszunk ki $3$ pontot, mivel ezek nincsenek egy egyenesen, meghatároznak egy $k_1$ kört, melynek sugara $r_1$. Ezután olyan kört kell szerkesztenünk, amelyik $k_1$-től is és a negyedik ponttól is egyenlő távolságra van. Ez nyilván egyközepű lesz $k_1$-gyel, és sugara $r_1+d$, ha $P_4$ a $k_1$-en kívül van (1. ábra), illetve $r_1-d$, ha $P_4$ $k_1$-en belül, ahol $d$ fele akkora, mint $P_4$-nek a $k_1$ körtől való távolsága. Az így kapott $k$ kör eleget tesz a feltételnek, hiszen mindegyik ponttól $d$ távolságra van. Ily módon annyi megoldást kapunk, ahányféleképpen $4$ pont közül ki tudunk választani $3$-at. Ez $4$ lehetőség.

 

1. ábra

 

2. ábra