Kezdőlap


Feladat:	Gy.1736	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1978/május, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/január: Gy.1736

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég belátni, hogy az

\begin{matrix} \frac{1}{n + 1} < \frac{i + \sqrt[]{n^{2} + i}}{(n + i) \sqrt[]{n^{2} + i + 2}} < \frac{1}{n} \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenség teljesül minden

i = 1

2

...

n

számra, mert ezeket összeadva az (1) egyenlőtlenséget kapjuk. Nézzük először a (2) egyenlőtlenség bal oldalát, rendezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (n + i) \sqrt[]{n^{2} + i + 2} < (n + 1) (i + \sqrt[]{n^{2} + i}), \end{matrix}

ami igaz, mert

\begin{matrix} n + i < i + \sqrt[]{n^{2} + i}, és \sqrt[]{n^{2} + i + 2} < n + 1. \end{matrix}

Hasonlóan vizsgálva az egyenlőtlenség jobb oldalát, szorzás után azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} n i + n \sqrt[]{n^{2} + i} < n \sqrt[]{n^{2} + i + 2} + i \sqrt[]{n^{2} + i + 2}, \end{matrix}

ami igaz, mert

\begin{matrix} n i < i \sqrt[]{n^{2} + i + 2}, és n \sqrt[]{n^{2} + i} < n \sqrt[]{n^{2} + i + 2} . \end{matrix}