Feladat: Gy.1736 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1978/május, 207 - 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/január: Gy.1736

Igazoljuk, hogy a következő egyenlőtlenség minden n természetes számra igaz:*
1-1n+1<1+n2+1(n+1)n2+3+2+n2+2(n+2)n2+4+...+n+n2+n2nn2+n+2<1(1)

*Megoldóinknak javasoljuk, hogy olvassák el a 2055-ös feladat megoldását, mely az
1977. évi februári számunkban jelent meg.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég belátni, hogy az

1n+1<i+n2+i(n+i)n2+i+2<1n(2)
egyenlőtlenség teljesül minden i=1, 2, ... n számra, mert ezeket összeadva az (1) egyenlőtlenséget kapjuk. Nézzük először a (2) egyenlőtlenség bal oldalát, rendezve azt kapjuk, hogy
(n+i)n2+i+2<(n+1)(i+n2+i),
ami igaz, mert
n+i<i+n2+i,ésn2+i+2<n+1.
Hasonlóan vizsgálva az egyenlőtlenség jobb oldalát, szorzás után azt kapjuk, hogy
ni+nn2+i<nn2+i+2+in2+i+2,
ami igaz, mert
ni<in2+i+2,ésnn2+i<nn2+i+2.