Feladat: Gy.1679 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Arató M. ,  Bacsi Zsuzsa ,  Balogh 238 I. ,  Bene Gy. ,  Boros T. ,  Bölcsföldi L. ,  Csanaki V. ,  Fischer P. ,  Fordán T. ,  Gáth Gy. ,  Gyuris Zs. ,  Götz Katalin ,  Haberschusz Erika ,  Hajdú Cs. ,  Hajnal P. ,  Horváth 169 T. ,  Horváth Á. ,  Juhász 665 I. ,  Kántor S. ,  Kántor Zs. ,  Kátai I. ,  Király E. ,  Kiss 171 Zs. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kovács 113 Klára ,  Kunos Klára ,  Lakatos I. ,  Mádl F. ,  Marosi I. ,  Mechler T. ,  Molnár 267 T. ,  Molnár 338 A. ,  Nagy 221 A. ,  Oláh K. ,  Pacher T. ,  Pásztor Csilla ,  Simek A. ,  Szemes G. ,  Szendrei Gy. ,  Varga J. ,  Varga Lívia ,  Varga T. ,  Winkler R. 
Füzet: 1977/november, 137 - 138. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Numerikus és grafikus módszerek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/február: Gy.1679

Jelöljük E(x)-szel a számegyenesen x-hez legközelebb álló egész számot. Bizonyítandó, hogy nincs olyan pozitív egész n, amelyre E(n+n) négyzetszám volna.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő bizonyítanunk, hogy tetszőleges k2 négyzetszámhoz található olyan m természetes szám, hogy

E(m+m)k2-1ésE(m+1+m+1)k2+1.(1)

Emiatt ugyanis, ha m-nél kisebb n számot veszünk, akkor E(n+n) értéke legfeljebb E(m+m) lehet, ha viszont n nagyobb m-nél, akkor E(n+n) értéke legalább E(m+1+m+1). Tehát valóban semmilyen n értékre nem kaphatunk E(n)-re k2-et.
(1)-nek eleget tevő m keresése közben az m=k2-k-t sejtjük meg. Valóban, (1) első egyenlőtlensége kicsit más alakban
k2-k+k2-k<(k2-1)+12,azazk2-k<k2-k+14,
míg a második egyenlőtlenség
k2-k+1+k2-k+1>(k2+1)-12,azazk2-k+1>k2-k+14,
tehát mindkettő igaz. Ezzel a feladat állítását beláttuk.