Kezdőlap


Feladat:	Gy.1679	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Arató M. , Bacsi Zsuzsa , Balogh 238 I. , Bene Gy. , Boros T. , Bölcsföldi L. , Csanaki V. , Fischer P. , Fordán T. , Gáth Gy. , Gyuris Zs. , Götz Katalin , Haberschusz Erika , Hajdú Cs. , Hajnal P. , Horváth 169 T. , Horváth Á. , Juhász 665 I. , Kántor S. , Kántor Zs. , Kátai I. , Király E. , Kiss 171 Zs. , Kiss 352 Gy. , Kovács 113 Klára , Kunos Klára , Lakatos I. , Mádl F. , Marosi I. , Mechler T. , Molnár 267 T. , Molnár 338 A. , Nagy 221 A. , Oláh K. , Pacher T. , Pásztor Csilla , Simek A. , Szemes G. , Szendrei Gy. , Varga J. , Varga Lívia , Varga T. , Winkler R.
Füzet:	1977/november, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Numerikus és grafikus módszerek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/február: Gy.1679

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő bizonyítanunk, hogy tetszőleges $k^{2}$ négyzetszámhoz található olyan $m$ természetes szám, hogy

\begin{matrix} E (m + \sqrt[]{m}) ≦ k^{2} - 1 és E (m + 1 + \sqrt[]{m + 1}) ≧ k^{2} + 1. \end{matrix}

(1)

Emiatt ugyanis, ha

m

-nél kisebb

n

számot veszünk, akkor

E (n + \sqrt[]{n})

értéke legfeljebb

E (m + \sqrt[]{m})

lehet, ha viszont

n

nagyobb

m

-nél, akkor

E (n + \sqrt[]{n})

értéke legalább

E (m + 1 + \sqrt[]{m + 1})

. Tehát valóban semmilyen

n

értékre nem kaphatunk

E (n)

-re

k^{2}

-et.
(1)-nek eleget tevő

m

keresése közben az

m = k^{2} - k

-t sejtjük meg. Valóban, (1) első egyenlőtlensége kicsit más alakban

\begin{matrix} k^{2} - k + \sqrt[]{k^{2} - k} < (k^{2} - 1) + \frac{1}{2}, azaz k^{2} - k < k^{2} - k + \frac{1}{4}, \end{matrix}

míg a második egyenlőtlenség

\begin{matrix} k^{2} - k + 1 + \sqrt[]{k^{2} - k + 1} > (k^{2} + 1) - \frac{1}{2}, azaz k^{2} - k + 1 > k^{2} - k + \frac{1}{4}, \end{matrix}

tehát mindkettő igaz. Ezzel a feladat állítását beláttuk.