Kezdőlap


Feladat:	Gy.1633	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	G. Horváth Ákos
Füzet:	1976/december, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Alakzatba írt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: Gy.1633

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük az $A B$ szakasz fölé írt kört $k_{1}$ -gyel, középpontját $O_{1}$ -gyel, a beírt kör középpontját $O_{2}$ -vel, $k_{1}$ és $k_{2}$ közös pontját $P$ -vel, $k_{2}$ és $C D$ közös pontját $R$ -rel.

Mivel

P O_{2} R_{△} \sim P O_{1} B_{△}

és

P

O_{2}

O_{1}

egy egyenesen (a centrálison) van, ezért

P

R

B

pontok is egy egyenesen vannak.

B

-ből a

k_{2}

körhöz húzott, érintő szakaszra az ismert mértani középarányos tételt felírva kapjuk, hogy

\begin{matrix} B E = \sqrt[]{B P \cdot B R} . \end{matrix}

B C D

háromszög és

B A C

háromszög hasonlóságából

\begin{matrix} \frac{B C}{B D} = \frac{A B}{B C}, ahonnan B C = \sqrt[]{A B \cdot B D} . \end{matrix}

Azt kell tehát igazolnunk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{B P \cdot B R} = \sqrt[]{A B \cdot B D}, illetve \end{matrix}

a távolságok pozitív volta miatt elegendő

\begin{matrix} B P \cdot B R = A B \cdot B D \end{matrix}

(1)

egyenlőség helyességét belátni, ami a

B D R

és

B P A

háromszögek hasonlóságából rögtön adódik.
Nincs értelme beszélni a feladatról, ha a

C

pont egybeesik

A

-val vagy

B

-vel.

G. Horváth Ákos (Budapest, II. Rákóczi F. Gimn.)

II. megoldás. Az

A B

átmérőjű

k_{1}

kör sugara legyen

r_{1}

, a

k_{2}

érintő kör sugara

r_{2}

és

B D = d

. Ekkor

A B = 2 r_{1}

O_{2} E = r_{2}

O_{2} D = \sqrt[]{2} r_{2}

B E = d + r_{2}

A B C

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} B C = \sqrt[]{A B \cdot D B} = \sqrt[]{2 r_{1} d} . \end{matrix}

Azt kell tehát igazolnunk, hogy

\begin{matrix} d + r_{2} = \sqrt[]{2 r_{1} d}, \end{matrix}

illetőleg a távolságok pozitív volta miatt

\begin{matrix} {(d + r_{2})}^{2} = 2 r_{1} d . \end{matrix}

(1)

O_{1} O_{2} E

háromszögből

\begin{matrix} \bar{O_{1} O_{2}^{2}} = \bar{E O_{2}^{2}} + \bar{E O_{1}^{2}} = \bar{E O_{2}^{2}} + {(\bar{E B} - \bar{O_{1} B})}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(r_{1} - r_{2})}^{2} = r_{2}^{2} + {(d + r_{2} - r_{1})}^{2} . \end{matrix}

A műveleteket elvégezve valóban (1)-et kapjuk.