Feladat: Gy.1633 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  G. Horváth Ákos 
Füzet: 1976/december, 208 - 209. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Alakzatba írt kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/április: Gy.1633

Az AB szakasz mint átmérő fölé írt félkörív tetszőleges pontja C, ennek vetülete az átmérőn D. Az AC ívvel és a CD, DA szakaszokkal határolt idomba kört írunk, ez az AD szakaszt E-ben érinti. Bizonyítsuk be, hogy BE=BC.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük az AB szakasz fölé írt kört k1-gyel, középpontját O1-gyel, a beírt kör középpontját O2-vel, k1 és k2 közös pontját P-vel, k2 és CD közös pontját R-rel.

 

 

Mivel PO2RPO1B és P, O2, O1 egy egyenesen (a centrálison) van, ezért P, R, B pontok is egy egyenesen vannak.
B-ből a k2 körhöz húzott, érintő szakaszra az ismert mértani középarányos tételt felírva kapjuk, hogy
BE=BPBR.

A BCD háromszög és BAC háromszög hasonlóságából
BCBD=ABBC,ahonnanBC=ABBD.
Azt kell tehát igazolnunk, hogy
BPBR=ABBD,illetve
a távolságok pozitív volta miatt elegendő
BPBR=ABBD(1)
egyenlőség helyességét belátni, ami a BDR és BPA háromszögek hasonlóságából rögtön adódik.
Nincs értelme beszélni a feladatról, ha a C pont egybeesik A-val vagy B-vel.
 

 G. Horváth Ákos (Budapest, II. Rákóczi F. Gimn.)
 

II. megoldás. Az AB átmérőjű k1 kör sugara legyen r1, a k2 érintő kör sugara r2 és BD=d. Ekkor AB=2r1, O2E=r2, O2D=2r2, BE=d+r2.
 

 

Az ABC derékszögű háromszögből
BC=ABDB=2r1d.
Azt kell tehát igazolnunk, hogy
d+r2=2r1d,
illetőleg a távolságok pozitív volta miatt
(d+r2)2=2r1d.(1)
Az O1O2E háromszögből
O1O22¯=EO22¯+EO12¯=EO22¯+(EB¯-O1B¯)2,
azaz
(r1-r2)2=r22+(d+r2-r1)2.
A műveleteket elvégezve valóban (1)-et kapjuk.