A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állítást azzal bizonyítjuk, hogy megadjuk az oldalszakasznak egy olyan pontját, amelyet az utolsó két hajtás után sem a , sem a háromszög új helyzete nem föd le. Ilyen a háromszög -ből induló magasságának talppontja, ami valóban közte van -nak és -nek, mert -nál is, -nél is hegyesszöge van a háromszögnek; sőt -nek és -nek is közte van , mert az és közt halad.
A feladat előírása szerint az hajtásvonal felezi a háromszög -nál levő szögét, tehát a pont egyenlő távolságra van az , szögszáraktól. -től való távolsága éppen a szakasz, az -től való pedig , ahol a vetülete -re. Így derékszögű háromszög, és ezért a háromszög szögeire Ámde az szög azonos az szöggel, a szög pedig egyenlő az szöggel, mert váltószögek, tehát Másrészt a háromszöget körül ráhajtva a háromszögre, a oldal a -re vonatkozó tükörképébe megy át, így pedig tehát a félegyenes a szögtartományban halad, az oldalt és között metszi át, a háromszög nem födi le -t, amint állítottuk. Bizonyításunkban a , , , , betű helyére a megfelelő, illetve ugyanúgy értelmezett , , , , betűt írva, a háromszög új helyzete sem fedi le -t. Ezzel teljesítettük a bevezetésül kimondott tervünket, a feladat megoldását befejeztük. Czompó József (Győr, Révay M. Gimn., II. o. t.) II. megoldás. Azt mutatjuk meg, hogy ha a oldalt ráhajtjuk a -n átmenő, -re merőleges egyenesre (ami szintén végezhető a 3. és 4. előírás szerinti hajtással), akkor a hajtásvonalnak -n levő pontja és között adódik. Ez azt fogja bizonyítani, hogy -t így lefedve a kelleténél nagyobb részt hajtottunk fel, vagyis közvetve bizonyítja, hogy az előírt hajtogatás esetén fedetlen marad. Felhasználjuk 1., hogy így is szögfelező, felezi a szöget, 2. a háromszög szögfelezőjére vonatkozó osztásarányt, 3. a háromszög kétféle területképletét ( a másik magasság) és 4. a párhuzamos szelők tételét: | |
A sor elején és végén álló arányok nagyságviszonyából annak alapján kapjuk állításunkat, hogy ha egy pont -től felé halad, akkor szigorúan monoton nő, szigorúan monoton fogy, tehát az arány szigorúan monoton nő, nem lehet tehát, hogy közelebb legyen -höz, mint . ‐ Ezt akartuk megmutatni. Homonnay Géza (Budapest, Arany J. Ált. Isk. és Gimn., 7. o. t.) Megjegyzés. A vizsgált alakzat előállításához hasonló feladatokat "papírhajtogatással végzett szerkesztések'' gyűjtőnéven szokás összefoglalni. Ezekben íróeszközt legföljebb csak jelölések céljára használunk. ‐ Ha megengedjük egy másik papírlapból párhuzamos élű "vonalzó'' előállítását, akkor ezt felhasználva tetszőleges egyenes mentén behajthatjuk az első papírt és bármely elemi szerkesztést elvégezhetünk (sőt bizonyos 3-ad és 4-edfokú feladatokat is megoldhatunk.)
Lásd röviden Dr. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete. 2. kiadás. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1968. 110‐111. |