Kezdőlap


Feladat:	1387. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czompó József , Homonnay Géza
Füzet:	1973/március, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1387. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítást azzal bizonyítjuk, hogy megadjuk az $A B$ oldalszakasznak egy olyan pontját, amelyet az utolsó két hajtás után sem a $C A G$ , sem a $C B F$ háromszög új helyzete nem föd le. Ilyen a háromszög $C$ -ből induló magasságának $C'$ talppontja, ami valóban közte van $A$ -nak és $B$ -nek, mert $A$ -nál is, $B$ -nél is hegyesszöge van a háromszögnek; sőt $F$ -nek és $G$ -nek is közte van $C'$ , mert $C C'$ az $E G$ és $D F$ közt halad.

A feladat előírása szerint az

A D

hajtásvonal felezi a háromszög

A

-nál levő szögét, tehát a

D

pont egyenlő távolságra van az

A B

A C

szögszáraktól.

A B

-től való távolsága éppen a

D F

szakasz, az

A C

-től való pedig

D D'

, ahol

D'

D

vetülete

A C

-re. Így

C D D'

derékszögű háromszög, és

\begin{matrix} C D > D' D = F D, \end{matrix}

ezért a

D C F

háromszög szögeire

\begin{matrix} F C D ∢ < C F D ∢ . \end{matrix}

Ámde az

F C D

szög azonos az

F C B

szöggel, a

C F D

szög pedig egyenlő az

F C C'

szöggel, mert váltószögek, tehát

\begin{matrix} F C B ∢ < F C C' ∢ . \end{matrix}

Másrészt a

C B F

háromszöget

C F

körül ráhajtva a

C F G

háromszögre, a

C B

oldal a

C F

-re vonatkozó

C B^{*}

tükörképébe megy át, így pedig

\begin{matrix} B^{*} C F ∢ = B C F ∢ < C' C F ∢, \end{matrix}

tehát a

C B^{*}

félegyenes a

C' C F

szögtartományban halad, az

A B

oldalt

C'

és

F

között metszi át, a

C B^{*} F

háromszög nem födi le

C'

-t, amint állítottuk.
Bizonyításunkban a

B

D

F

D'

B^{*}

betű helyére a megfelelő, illetve ugyanúgy értelmezett

A

E

G

E'

A^{*}

betűt írva, a

C A G

háromszög új

C A^{*} G

helyzete sem fedi le

C'

-t. Ezzel teljesítettük a bevezetésül kimondott tervünket, a feladat megoldását befejeztük.
Czompó József (Győr, Révay M. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Azt mutatjuk meg, hogy ha a

C B

oldalt ráhajtjuk a

C

-n átmenő,

A B

-re merőleges

C C'

egyenesre (ami szintén végezhető a 3. és 4. előírás szerinti hajtással), akkor a hajtásvonalnak

A B

-n levő

H

pontja

C'

és

F

között adódik. Ez azt fogja bizonyítani, hogy

C'

-t így lefedve a kelleténél nagyobb részt hajtottunk fel, vagyis közvetve bizonyítja, hogy az előírt hajtogatás esetén

C'

fedetlen marad.
Felhasználjuk 1., hogy így

C H

is szögfelező, felezi a

C' C B

szöget, 2. a háromszög szögfelezőjére vonatkozó osztásarányt, 3. a háromszög kétféle területképletét (

B B'

a másik magasság) és 4. a párhuzamos szelők tételét:

\begin{matrix} \frac{H C'}{H B} = \frac{C C'}{C B} < \frac{C C'}{B' B} = \frac{2 t : A B}{2 t : A C} = \frac{A C}{A B} = \frac{D C}{D B} = \frac{F C'}{F B} . \end{matrix}

A sor elején és végén álló arányok

\begin{matrix} \frac{H C'}{H B} < \frac{F C'}{F B} \end{matrix}

nagyságviszonyából annak alapján kapjuk állításunkat, hogy ha egy

X

pont

C'

-től

B

felé halad, akkor

X C'

szigorúan monoton nő,

X B

szigorúan monoton fogy, tehát az

\frac{X C'}{X B}

arány szigorúan monoton nő, nem lehet tehát, hogy

F

közelebb legyen

C'

-höz, mint

H

. ‐ Ezt akartuk megmutatni.

Homonnay Géza (Budapest, Arany J. Ált. Isk. és Gimn., 7. o. t.)

Megjegyzés. A vizsgált alakzat előállításához hasonló feladatokat "papírhajtogatással végzett szerkesztések'' gyűjtőnéven szokás összefoglalni. Ezekben íróeszközt legföljebb csak jelölések céljára használunk. ‐ Ha megengedjük egy másik papírlapból párhuzamos élű "vonalzó'' előállítását, akkor ezt felhasználva tetszőleges egyenes mentén behajthatjuk az első papírt és bármely elemi szerkesztést elvégezhetünk (sőt bizonyos 3-ad és 4-edfokú feladatokat is megoldhatunk.)^{$^{*}$}

^{$^{*}$}Lásd röviden Dr. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete. 2. kiadás. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1968. 110‐111.