Feladat: 1387. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Czompó József ,  Homonnay Géza 
Füzet: 1973/március, 109 - 110. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb feladványok, Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1387. matematika gyakorlat

ABC egy vékony papírból kivágott háromszöglap, mindegyik szöge hegyesszög. A következő hajtogatásokat végezzük a lapon.
1. Ráhajtjuk az AC félegyenest az AB félegyenesre, megjelöljük a hajtásvonalnak a BC oldalon levő D pontját, majd a lapot ismét kiterítjük.
2. Hasonlóan eljárva ráhajtjuk BC-t BA-ra, a hajtásvonal AC-n levő pontja E.
3. Olyan hajtást végzünk D-n át, melynek vonala merőleges AB-re, a hajtásvonal AB-n levő pontja F.
4. Hasonlóan az E-n átmenő, AB-re merőleges hajtásvonal másik végpontja G.
Bizonyítandó, hogy a CBF háromszöget CF körül és a CAG háromszöget CG körül a CGF háromszögre ráhajtva, e két háromszögnek új helyzetükben nincsenek egymás fölötti pontjai (C-t kivéve).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítást azzal bizonyítjuk, hogy megadjuk az AB oldalszakasznak egy olyan pontját, amelyet az utolsó két hajtás után sem a CAG, sem a CBF háromszög új helyzete nem föd le. Ilyen a háromszög C-ből induló magasságának C' talppontja, ami valóban közte van A-nak és B-nek, mert A-nál is, B-nél is hegyesszöge van a háromszögnek; sőt F-nek és G-nek is közte van C', mert CC' az EG és DF közt halad.

 

 

A feladat előírása szerint az AD hajtásvonal felezi a háromszög A-nál levő szögét, tehát a D pont egyenlő távolságra van az AB, AC szögszáraktól. AB-től való távolsága éppen a DF szakasz, az AC-től való pedig DD', ahol D' a D vetülete AC-re. Így CDD' derékszögű háromszög, és
CD>D'D=FD,
ezért a DCF háromszög szögeire
FCD<CFD.
Ámde az FCD szög azonos az FCB szöggel, a CFD szög pedig egyenlő az FCC' szöggel, mert váltószögek, tehát
FCB<FCC'.
Másrészt a CBF háromszöget CF körül ráhajtva a CFG háromszögre, a CB oldal a CF-re vonatkozó CB* tükörképébe megy át, így pedig
B*CF=BCF<C'CF,
tehát a CB* félegyenes a C'CF szögtartományban halad, az AB oldalt C' és F között metszi át, a CB*F háromszög nem födi le C'-t, amint állítottuk.
Bizonyításunkban a B, D, F, D', B* betű helyére a megfelelő, illetve ugyanúgy értelmezett A, E, G, E', A* betűt írva, a CAG háromszög új CA*G helyzete sem fedi le C'-t. Ezzel teljesítettük a bevezetésül kimondott tervünket, a feladat megoldását befejeztük.
 Czompó József (Győr, Révay M. Gimn., II. o. t.)
 

II. megoldás. Azt mutatjuk meg, hogy ha a CB oldalt ráhajtjuk a C-n átmenő, AB-re merőleges CC' egyenesre (ami szintén végezhető a 3. és 4. előírás szerinti hajtással), akkor a hajtásvonalnak AB-n levő H pontja C' és F között adódik. Ez azt fogja bizonyítani, hogy C'-t így lefedve a kelleténél nagyobb részt hajtottunk fel, vagyis közvetve bizonyítja, hogy az előírt hajtogatás esetén C' fedetlen marad.
Felhasználjuk 1., hogy így CH is szögfelező, felezi a C'CB szöget, 2. a háromszög szögfelezőjére vonatkozó osztásarányt, 3. a háromszög kétféle területképletét (BB' a másik magasság) és 4. a párhuzamos szelők tételét:
HC'HB=CC'CB<CC'B'B=2t:AB2t:AC=ACAB=DCDB=FC'FB.

A sor elején és végén álló arányok
HC'HB<FC'FB
nagyságviszonyából annak alapján kapjuk állításunkat, hogy ha egy X pont C'-től B felé halad, akkor XC' szigorúan monoton nő, XB szigorúan monoton fogy, tehát az XC'XB arány szigorúan monoton nő, nem lehet tehát, hogy F közelebb legyen C'-höz, mint H. ‐ Ezt akartuk megmutatni.
 

 Homonnay Géza (Budapest, Arany J. Ált. Isk. és Gimn., 7. o. t.)
 

Megjegyzés. A vizsgált alakzat előállításához hasonló feladatokat "papírhajtogatással végzett szerkesztések'' gyűjtőnéven szokás összefoglalni. Ezekben íróeszközt legföljebb csak jelölések céljára használunk. ‐ Ha megengedjük egy másik papírlapból párhuzamos élű "vonalzó'' előállítását, akkor ezt felhasználva tetszőleges egyenes mentén behajthatjuk az első papírt és bármely elemi szerkesztést elvégezhetünk (sőt bizonyos 3-ad és 4-edfokú feladatokat is megoldhatunk.)*

*Lásd röviden Dr. Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztések elmélete. 2. kiadás. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1968. 110‐111.