Kezdőlap


Feladat:	1349. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkó Zoltán
Füzet:	1971/november, 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: 1349. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két kifejezés különbsége könnyen szorzattá alakítható:

\begin{matrix} K = & (a^{4} + b^{4} + c^{4}) - 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) = {(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2} = \\ = (a^{2} + b^{2} - c^{2} - 2 a b) (a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b) = {{(a - b)}^{2} - c^{2}} {{(a + b)}^{2} - c^{2}} = \\ = (a - b - c) (a - b + c) (a + b - c) (a + b + c) . \end{matrix}

Itt a föltevések szerint az első tényező negatív, a második és a negyedik pedig pozitív, ezen három tényező szorzata negatív, ennélfogva a különbség előjele ellentétes a harmadik tényező előjelével, ha

a + b - c \neq 0

, és

K = 0

, ha

a + b - c = 0

. Összefoglalva és átrendezve:

\begin{matrix} a^{4} + b^{4} + c^{4} ⋛ 2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) \end{matrix}

aszerint, hogy

\begin{matrix} c ⋛ a + b . \end{matrix}

Benkő Zoltán (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)