Feladat: 1349. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benkó Zoltán 
Füzet: 1971/november, 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/február: 1349. matematika gyakorlat

Az a, b, c pozitív számokra a<b+c és b<c+a. Milyen nagyságviszony áll fenn a4+b4+c4 és 2(a2b2+b2c2+c2a2) között?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két kifejezés különbsége könnyen szorzattá alakítható:

K=(a4+b4+c4)-2(a2b2+b2c2+c2a2)=(a2+b2-c2)2-4a2b2==(a2+b2-c2-2ab)(a2+b2-c2+2ab)={(a-b)2-c2}{(a+b)2-c2}==(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c).

Itt a föltevések szerint az első tényező negatív, a második és a negyedik pedig pozitív, ezen három tényező szorzata negatív, ennélfogva a különbség előjele ellentétes a harmadik tényező előjelével, ha a+b-c0, és K=0, ha a+b-c=0. Összefoglalva és átrendezve:
a4+b4+c42(a2b2+b2c2+c2a2)
aszerint, hogy
ca+b.

Benkő Zoltán (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.)