Feladat: 1347. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/május, 203 - 205. oldal  PDF file
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/január: 1347. matematika gyakorlat

Egy tompaszögű háromszögnek a tompaszög csúcsából induló súlyvonala a szög egyik szárával derékszöget zár be.
 

a) Milyen összefüggés áll fenn a három oldal mértékszáma között?
b) Milyen összefüggés áll fenn a három súlyvonal mértékszáma között?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Legyen a kérdéses ABC háromszög tompaszögének csúcsa C és legyen az onnan induló CC0 súlyvonala a CB oldalra merőleges (C0 az AB oldal felezőpontja).

 
 
1. ábra
 

Így a C0BC derékszögű háromszögből az oldalak és súlyvonalak szokásos jelöléseivel (1. ábra)
CC02=sc2=(c2)2-a2.

Az ABC háromszöget C0 -ra tükrözve A és B egymásba mennek át, C képe pedig legyen C'. így C'A#CB, és a CC'A derékszögű háromszögből
CC'2=4sc2=b2-a2.

E két összefüggésből sc kiküszöbölésével a három oldal között egyszerű összefüggés adódik:
c2=3a2+b2,másképpen3a2+b2-c2=0.(1)

2. Legyen még BC felezőpontja A0, és az ABC háromszög súlypontja S. Így SA0=AA0/3=sa/3, és SB=2sb/3, SC=2sc/3, és az SCA0, SCB derékszögű háromszögekből:
CA02=a24=sa29-4sc29,CB2=a2=4sb29-4sc29.
Ezekből a kiküszöbölése útján kapunk összefüggést a súlyvonalak között:
3sc2=sa2-sb2,másképpensa2-sb2-3sc2=0.(2)

A talált (1) összefüggés különböző együtthatói szerint a tompaszöggel szemben fekvő c oldal, a súlyvonalra merőleges a oldal és b, a harmadik oldal az összefüggésben megkülönböztetett szerepet kapott, és ugyanez mondható a súlyvonalak (2) összefüggésére.
 

Megjegyzések. 1. Bizonyításunk szerint (1) és (2) szükséges feltételei annak, hogy SC és CB merőlegesen álljanak egymásra. Könnyű megmutatni az oldalak és súlyvonalak ismert összefüggései alapján ‐ amelyek közül egyet-egyet ide iktatunk:*
4sc2=2a2+2b2-c2,9c2=8sa2+8sb2-4sc2,
hogy a feltételek elegendők is ahhoz, hogy a kérdéses merőleges állás bekövetkezzék. ‐ Minthogy a feladat eredetileg versenyfeladat volt és a versenyek munkaideje kötött, a feladat a megfordítást nem kérdezte.
2. A kapott (1) és (2) összefüggések hasonlósága (ami még jobban látszik, ha (2)-t
sa2=3sc2+sb2
alakban írjuk), arra utal, hogy a súlyvonalakból mint oldalakból szerkesztett háromszögnek is megvan ugyanaz a tulajdonsága, mint az eredeti háromszögnek. Valóban, ha a C'S, AS szakaszok felezőpontját D-vel, illetve E-vel jelöljük, az ADS háromszögben
DS=23sc,AD(=BS)=23sb,AS=23sa,
tehát ez a háromszög hasonló a súlyvonalakból mint oldalakból szerkeszthető háromszöghöz, benne D-nél tompaszög van, és a DE súlyvonal merőleges a DS oldalra. (Ezzel természetesen (2)-re is újabb bizonyítást adtunk.)
 
 
2. ábra
 

*Az elsőt legutóbb az 1772. feladatban használtuk, K. M. L. 44 (1972) 10 ‐ 11. oldal; a második úgy adódik, hogy felírjuk hasonlóan 4sa2-et és 4sb2-et és a három egyenletből álló rendszert megoldjuk a2-re, b2-re, c2-re mint ismeretlenekre.