Kezdőlap


Feladat:	1347. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/május, 203 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: 1347. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Legyen a kérdéses $A B C$ háromszög tompaszögének csúcsa $C$ és legyen az onnan induló $C C_{0}$ súlyvonala a $C B$ oldalra merőleges ( $C_{0}$ az $A B$ oldal felezőpontja).

1. ábra

Így a

C_{0} B C

derékszögű háromszögből az oldalak és súlyvonalak szokásos jelöléseivel (1. ábra)

\begin{matrix} {C C}_{0}^{2} = s_{c}^{2} = {(\frac{c}{2})}^{2} - a^{2} . \end{matrix}

A B C

háromszöget

C_{0}

-ra tükrözve

A

és

B

egymásba mennek át,

C

képe pedig legyen

C'

. így

C' A # C B

, és a

C C' A

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} {C C'}^{2} = 4 s_{c}^{2} = b^{2} - a^{2} . \end{matrix}

E két összefüggésből

s_{c}

kiküszöbölésével a három oldal között egyszerű összefüggés adódik:

\begin{matrix} c^{2} = {3 a}^{2} + b^{2}, másképpen 3 a^{2} + b^{2} - c^{2} = 0. \end{matrix}

(1)

2. Legyen még

B C

felezőpontja

A_{0}

, és az

A B C

háromszög súlypontja

S

. Így

S A_{0} = A A_{0} / 3 = s_{a} / 3

, és

S B = 2 s_{b} / 3

S C = 2 s_{c} / 3

, és az

S C A_{0}

S C B

derékszögű háromszögekből:

\begin{matrix} {C A}_{0}^{2} = \frac{a^{2}}{4} = \frac{s_{a}^{2}}{9} - \frac{4 s_{c}^{2}}{9}, \\ {C B}^{2} = a^{2} = \frac{4 s_{b}^{2}}{9} - \frac{4 s_{c}^{2}}{9} . \end{matrix}

Ezekből a kiküszöbölése útján kapunk összefüggést a súlyvonalak között:

\begin{matrix} 3 s_{c}^{2} = s_{a}^{2} - s_{b}^{2}, másképpen s_{a}^{2} - s_{b}^{2} - 3 s_{c}^{2} = 0. \end{matrix}

(2)

A talált (1) összefüggés különböző együtthatói szerint a tompaszöggel szemben fekvő

c

oldal, a súlyvonalra merőleges

a

oldal és

b

, a harmadik oldal az összefüggésben megkülönböztetett szerepet kapott, és ugyanez mondható a súlyvonalak (2) összefüggésére.

Megjegyzések. 1. Bizonyításunk szerint (1) és (2) szükséges feltételei annak, hogy

S C

és

C B

merőlegesen álljanak egymásra. Könnyű megmutatni az oldalak és súlyvonalak ismert összefüggései alapján ‐ amelyek közül egyet-egyet ide iktatunk:^{$^{*}$}

\begin{matrix} 4 s_{c}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}, 9 c^{2} = 8 s_{a}^{2} + 8 s_{b}^{2} - 4 s_{c}^{2}, \end{matrix}

hogy a feltételek elegendők is ahhoz, hogy a kérdéses merőleges állás bekövetkezzék. ‐ Minthogy a feladat eredetileg versenyfeladat volt és a versenyek munkaideje kötött, a feladat a megfordítást nem kérdezte.
2. A kapott (1) és (2) összefüggések hasonlósága (ami még jobban látszik, ha (2)-t

\begin{matrix} s_{a}^{2} = 3 s_{c}^{2} + s_{b}^{2} \end{matrix}

alakban írjuk), arra utal, hogy a súlyvonalakból mint oldalakból szerkesztett háromszögnek is megvan ugyanaz a tulajdonsága, mint az eredeti háromszögnek. Valóban, ha a

C' S

A S

szakaszok felezőpontját

D

-vel, illetve

E

-vel jelöljük, az

A D S

háromszögben

\begin{matrix} D S = \frac{2}{3} s_{c}, A D (= B S) = \frac{2}{3} s_{b}, A S = \frac{2}{3} s_{a}, \end{matrix}

tehát ez a háromszög hasonló a súlyvonalakból mint oldalakból szerkeszthető háromszöghöz, benne

D

-nél tompaszög van, és a

D E

súlyvonal merőleges a

D S

oldalra. (Ezzel természetesen (2)-re is újabb bizonyítást adtunk.)

2. ábra

^{$^{*}$}Az elsőt legutóbb az 1772. feladatban használtuk, K. M. L. 44 (1972) 10 ‐ 11. oldal; a második úgy adódik, hogy felírjuk hasonlóan

4 s_{a}^{2}

-et és

4 s_{b}^{2}

-et és a három egyenletből álló rendszert megoldjuk

a^{2}

-re,

b^{2}

-re,

c^{2}

-re mint ismeretlenekre.