Feladat: 1329. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsó G. ,  Bálint L. ,  Bodnár I. ,  Boros E. ,  Császár Gy. ,  Éber N. ,  Filep J. ,  Fűzy Cs. ,  Füredi Z. ,  Földes T. ,  Gál P. ,  Győri E. ,  Hanák G. ,  Kelen M. ,  Komornik V. ,  Koppány I. ,  Major T. ,  Nagy Z. ,  Oláh Vera ,  Párkány Katalin ,  Pataki B. ,  Pintér I. ,  Pipek J. ,  Sándor T. ,  Somogyi B. ,  Szász Gy. ,  Szeredi J. 
Füzet: 1972/április, 157 - 158. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Beírt kör, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/október: 1329. matematika gyakorlat

Egy háromszög beírt köre az egyik oldalt E-ben érinti, ennek az oldalnak a felezőpontja F, a szemben fekvő csúcsból induló szögfelező és magasság pedig G-ben, ill. H-ban metszi az oldal egyenesét. Bizonyítsuk be, hogy EGFH=EFEH.
Van-e hasonló összefüggés, ha E helyére egy külső érintő kör érintési pontját írjuk, G helyére pedig a külső szögfelező metszéspontját ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyenek a mondott E, F, G, H pontok az ABC háromszög BC oldalegyenesén és jelöljük a háromszög oldalait szokás szerint a, b, c betűvel.

 

 

Válasszuk úgy a betűzést, hogy AB=c<AC=b (ugyanis b=c esetén a 4 pont egybeesik, az állítás semmitmondó). Föltevésünk mellett viszont a 4 pont különböző egymástól ‐ az állításbeli 4 szakasz egyike sem 0 ‐, és a pontok sorrendje is egyértelmű. Ugyanis mivel az A csúcs ‐ és vele H is ‐ az F-ben emelt f merőlegesnek B-t tartalmazó partján van, azért ott van E és G is, mert az A-beli szögfelező átmegy f és a háromszög köré írt kör A-t nem tartalmazó BC ívének D felezőpontján, és G, valamint a beírt kör O középpontja az AD húron van; és mivel még DG<DO<DA, azért FG<FE<FH, tehát a pontok sorrendje C, F, G, E, H, B; a H pont egybeesik B-vel, ill. túlesik rajta, ha CBA90.
Ezek alapján a négy pontnak B-től mért távolságaiból az állításbeli négy szakasz hossza kiszámítható. Mindjárt elsőnek BF=a/2. A szögfelező osztási aránya alapján BG=ac/(b+c). A beírt körhöz a csúcsokból húzott érintőszakaszok egyenlősége alapján, a kör, AB-n levő K és AC-n levő L érintési pontját is felhasználva
BE=BK+BE2=BA+BC-(AL+CL)2=c+a-b2.
Végül az AHB és AHC derékszögű háromszögek közös befogójára, BH=x jelöléssel, fennáll
AH2=AB2-BH2=AC2-CH2,c2-x2=b2-(ax)2,x=±a2-b2+c22a


(az alsó előjelek akkor érvényesek, ha CBA>90).
Ezekből kivonással, H esetében BH irányát is figyelembe véve:
EG=BG-BE=(b-c)(b+c-a)2(b+c),FH=BFBH=(b-c)(b+c)2a,EF=BF-BE=b-c2,EH=BEBH=(b-c)(b+c-a)2a,
és tüstént látjuk, hogy a felső két kifejezés szorzata egyenlő az alsó kettőével, az állítás helyes.
 

II. A hasonló összefüggések keresésében E helyén három külső érintő (hozzáírt) kör érintési pontja jön szóba, legyen ez a BC, BA, CA oldalhoz hozzáírt kör esetében rendre E*, E', E''. Közülük az első kör O* középpontja ugyancsak az AG szögfelezőn van rajta, az utóbbiak O', O'' középpontja pedig a BAC szög külső szögeinek AG' felezőjén, tehát G-t csak az utóbbi két esetben pótoljuk G'-vel. Így a következő három összefüggés várható:
E*GFH=E*FE*H,E'G'FH=E'FE'H,E''G'FH=E''FE''H.(1)

A fentiekhez hasonlóan adódik, hogy új pontjaink sorrendje a BC egyenesen a következő: G', E', B és H a fentiek szerint, F, E*, C, E'', valamint hogy az új pontok B-től mért távolságának abszolút értéke:
BG'=acb-c,BE'=b+c-a2,BE*=a+b-c2,BE''=a+b+c2.
Ezek alapján a fentihez hasonló számítás mutatja, hogy az (1) egyenlőségek mindegyike helyes.