Kezdőlap


Feladat:	1086. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálványos Z. , Bárd P. , Bogár D. , Borzsák P. , Bukta Erzsébet , Csirmaz László , Dévényi K. , Ésik Zoltán , Farkas Gy. , Fiala T. , Fialovszky Alice , Fuggerth E. , Gajdács Ibolya , Gulyás A. , Gyenes T. , Hadik R. , Hárs László , Horváth András , Kálmán P. , Kardos J. , Kóczy László , Kőnig Imre , Kovács János , Körtvélyessy Péter , Lempert L. , Lengyel Tamás , Lőrincz A. , Maróti Péter , Máthé Mariann , Nagy Dénes , Nagy Zoltán , Nikodémusz Anna , Pataki István , Polányi L. , Rajta P. , Sághy A. , Sailer K. , Soós M. , Stefanovicz K. , Süttő Klára , Szendrényi T. , Szentmiklóssy L. , Tél T. , Zöldy B.
Füzet:	1967/október, 67 - 68. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Tengelyes tükrözés, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/november: 1086. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen $F_{1}$ tükörképe $e$ -re $F_{1}'$ (1. ábra), így $e$ az $F_{1} F_{1}'$ szakasz felező merőlegese, és a sík bármely olyan $P$ pontjára, amely $e$ -nek az $F_{1}$ -et tartalmazó partján van, $P F_{1}' > P F_{1}$ , a többiekre $P F_{1}' \leq P F_{1}$ .

1. ábra

Legyen

F_{1}

merőleges vetülete

e

-n, ill. az

F_{1} M F_{2}

szög

m

szögfelezőjén

V'

, ill.

V''

. A szögfelezés és a tükrözés miatt

\begin{matrix} F_{1}' M F_{2} ∢ = F_{1}' M V' ∢ + V' M F_{1} ∢ + F_{1} M V'' ∢ + V'' M F_{2} ∢ = \\ = 2 (V' M F_{1} ∢ + F_{1} M V'' ∢) = 2 V' M V'' ∢ = 180^{\circ}, \end{matrix}

tehát

F_{1}'

F_{2} M

egyenes

M

-en túli meghosszabbításán van, továbbá

\begin{matrix} F_{1}' F_{2} = F_{1}' M + M F_{2} = F_{1} M + M F_{2} = s . \end{matrix}

Megállapításaink akkor is helyesek, ha

M

éppen rajta van az

F_{1} F_{2}

egyenesen (az

F_{1} M F_{2}

háromszög elfajul egyenesszakasszá). Ekkor

s > F_{1} F_{2}

miatt

M

csak úgy helyezkedhetik el, hogy tőle

F_{1}

és

F_{2}

ugyanabban az irányban van,

F_{1} M F_{2} ∢ = 0^{\circ}

, felezőjeként az

M F_{1}

félegyenes tekintendő, így

e ⊥ F_{1} F_{2}

. Ezért

F_{1}'

M F_{1}

egyenesen adódik, és

M

elválasztja

F_{1}'

-t

F_{2}

-től, ezért

F_{1}' F_{2}

összeadással adódik

F_{1}' M

-ből és

M F_{2}

-ből.
Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy van a mozgó pontnak egy az

M

-től különböző

M^{*}

helyzete az

e

-n vagy ennek

F_{1}

-et nem tartalmazó partján. Ekkor

\begin{matrix} F_{1}' M^{*} \leq F_{1} M^{*}, és mégis F_{1} M^{*} + M^{*} F_{2} = s, tehát & (1) \\ s^{*} = F_{1}' M^{*} + M^{*} F_{2} \leq s . \end{matrix}

Másrészt az

M^{*}

F_{1}'

F_{2}

pontokra a háromszögegyenlőtlenség és a fentiek alapján (gondolva szakasszá fajult háromszög lehetőségére is):

\begin{matrix} s^{*} = F_{1}' M^{*} + M^{*} F_{2} \geq F_{1}' F_{2} = s, vagyis s^{*} \geq s . \end{matrix}

E két megállapításból

s^{*} = s = F_{1}' F_{2}

, ami szerint egyrészt (1)-ben egyenlőség áll, tehát

M^{*}

rajta van

e

-n, másrészt rajta van az

F_{1}' F_{2}

szakaszon is, tehát azonos e szakasz és az

e

egyenes egyetlen közös pontjával,

M

-mel. Ellentmondásba jutottunk feltevésünkkel, eszerint a kérdéses

M^{*}

pályapont nem létezik. Ezt kellett bizonyítanunk.

2. ábra

G_{1}

-nek

g

-re való

G_{1}'

tükörképe az

N G_{2}

félegyenesen van (2. ábra), és a feltevés miatt

N G_{1}' = N G_{1} = N G_{2} - d

, ezért

G_{1}' G_{2} = d

. Tegyük fel, hogy pontunk pályájának egy az

N

-től különböző

N^{*}

pontja nincs benne a

g

-vel kettévágott síknak

G_{1}

-et tartalmazó félsíkjában, vagyis hogy

\begin{matrix} N^{*} G_{1}' \leq N^{*} G_{1} és mégis N^{*} G_{2} - N^{*} G_{1} = d, \end{matrix}

(2)

‐ ugyanis

g

G_{1} G_{1}'

szakasz felező merőlegese. Ezek alapján

d^{*} = N^{*} G_{2} -

- N^{*} G_{1}' \geq d

, viszont az

N^{*}

G_{1}'

G_{2}

ponthármasra alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget

\begin{matrix} d^{*} = N^{*} G_{2} - N^{*} G_{1}' \leq G_{1}' G_{2} = d, \end{matrix}

vagyis csak

d^{*} = d

lehetséges. Emiatt egyrészt (2)-ben egyenlőség áll,

N^{*}

csak

g

pontja lehet, másrészt

N^{*}

G_{1}'

G_{2}

nem alkotnak valódi háromszöget,

N^{*}

G_{1}' G_{2}

egyenesen van, tehát

N^{*}

‐ feltevésünkkel ellentétben ‐ azonos

N

-nel, mint

g

és a

G_{1}' G_{2}

egyenes egyetlen közös pontjával. Eszerint nincs pontunk pályájának további pontja sem

g

-n, sem annak

G_{1}

-et nem tartalmazó partján. Az állítást bebizonyítottuk.

Körtvélyessy Péter (Szeged, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés. Többen észrevették, hogy

M

pontunk pályája ellipszis, melynek fókuszai

F_{1}

F_{2}

, és nagy tengelyének hossza

s

, másrészt hogy

N

pályája egyik ága annak a hiperbolának, melynek fókuszai

G_{1}

G_{2}

, és főtengelyének hossza

d