|
Feladat: |
1086. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bálványos Z. , Bárd P. , Bogár D. , Borzsák P. , Bukta Erzsébet , Csirmaz László , Dévényi K. , Ésik Zoltán , Farkas Gy. , Fiala T. , Fialovszky Alice , Fuggerth E. , Gajdács Ibolya , Gulyás A. , Gyenes T. , Hadik R. , Hárs László , Horváth András , Kálmán P. , Kardos J. , Kóczy László , Kőnig Imre , Kovács János , Körtvélyessy Péter , Lempert L. , Lengyel Tamás , Lőrincz A. , Maróti Péter , Máthé Mariann , Nagy Dénes , Nagy Zoltán , Nikodémusz Anna , Pataki István , Polányi L. , Rajta P. , Sághy A. , Sailer K. , Soós M. , Stefanovicz K. , Süttő Klára , Szendrényi T. , Szentmiklóssy L. , Tél T. , Zöldy B. |
Füzet: |
1967/október,
67 - 68. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Tengelyes tükrözés, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1966/november: 1086. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Legyen tükörképe -re (1. ábra), így az szakasz felező merőlegese, és a sík bármely olyan pontjára, amely -nek az -et tartalmazó partján van, , a többiekre .
1. ábra Legyen merőleges vetülete -n, ill. az szög szögfelezőjén , ill. . A szögfelezés és a tükrözés miatt
tehát az egyenes -en túli meghosszabbításán van, továbbá | | Megállapításaink akkor is helyesek, ha éppen rajta van az egyenesen (az háromszög elfajul egyenesszakasszá). Ekkor miatt csak úgy helyezkedhetik el, hogy tőle és ugyanabban az irányban van, , felezőjeként az félegyenes tekintendő, így . Ezért az egyenesen adódik, és elválasztja -t -től, ezért összeadással adódik -ből és -ből. Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy van a mozgó pontnak egy az -től különböző helyzete az -n vagy ennek -et nem tartalmazó partján. Ekkor
Másrészt az , , pontokra a háromszögegyenlőtlenség és a fentiek alapján (gondolva szakasszá fajult háromszög lehetőségére is): | |
E két megállapításból , ami szerint egyrészt (1)-ben egyenlőség áll, tehát rajta van -n, másrészt rajta van az szakaszon is, tehát azonos e szakasz és az egyenes egyetlen közös pontjával, -mel. Ellentmondásba jutottunk feltevésünkkel, eszerint a kérdéses pályapont nem létezik. Ezt kellett bizonyítanunk.
2. ábra b) -nek -re való tükörképe az félegyenesen van (2. ábra), és a feltevés miatt , ezért . Tegyük fel, hogy pontunk pályájának egy az -től különböző pontja nincs benne a -vel kettévágott síknak -et tartalmazó félsíkjában, vagyis hogy | | (2) | ‐ ugyanis a szakasz felező merőlegese. Ezek alapján , viszont az , , ponthármasra alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget vagyis csak lehetséges. Emiatt egyrészt (2)-ben egyenlőség áll, csak pontja lehet, másrészt , , nem alkotnak valódi háromszöget, a egyenesen van, tehát ‐ feltevésünkkel ellentétben ‐ azonos -nel, mint és a egyenes egyetlen közös pontjával. Eszerint nincs pontunk pályájának további pontja sem -n, sem annak -et nem tartalmazó partján. Az állítást bebizonyítottuk.
Körtvélyessy Péter (Szeged, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)
Megjegyzés. Többen észrevették, hogy pontunk pályája ellipszis, melynek fókuszai , , és nagy tengelyének hossza , másrészt hogy pályája egyik ága annak a hiperbolának, melynek fókuszai , , és főtengelyének hossza . |
|