Feladat: 1086. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálványos Z. ,  Bárd P. ,  Bogár D. ,  Borzsák P. ,  Bukta Erzsébet ,  Csirmaz László ,  Dévényi K. ,  Ésik Zoltán ,  Farkas Gy. ,  Fiala T. ,  Fialovszky Alice ,  Fuggerth E. ,  Gajdács Ibolya ,  Gulyás A. ,  Gyenes T. ,  Hadik R. ,  Hárs László ,  Horváth András ,  Kálmán P. ,  Kardos J. ,  Kóczy László ,  Kőnig Imre ,  Kovács János ,  Körtvélyessy Péter ,  Lempert L. ,  Lengyel Tamás ,  Lőrincz A. ,  Maróti Péter ,  Máthé Mariann ,  Nagy Dénes ,  Nagy Zoltán ,  Nikodémusz Anna ,  Pataki István ,  Polányi L. ,  Rajta P. ,  Sághy A. ,  Sailer K. ,  Soós M. ,  Stefanovicz K. ,  Süttő Klára ,  Szendrényi T. ,  Szentmiklóssy L. ,  Tél T. ,  Zöldy B. 
Füzet: 1967/október, 67 - 68. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Tengelyes tükrözés, Ellipszis, mint mértani hely, Hiperbola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1966/november: 1086. matematika gyakorlat

a) Adott a síkon az F1, F2 pontpár és egy az F1F2 szakasznál hosszabb s szakasz. Az M pont úgy mozog a síkon, hogy F1-tő1 és F2-től mért távolságainak összege s-sel egyenlő. Mutassuk meg, hogy ha M bármely helyzetén át megrajzoljuk azt az e egyenest, amely merőleges az F1MF2 szög felezőjére, akkor M minden más helyzete e-nek arra az oldalára esik, mint F1.
b) Adott a síkon a G1, G2 pontpár és egy a G1G2 szakasznál rövidebb d szakasz. Az N pont úgy mozog a síkon, hogy G2-től való távolsága d-vel nagyobb, mint a G1-től való távolsága. Mutassuk meg, hogy ha N bármely helyzetében megrajzoljuk azt a g egyenest, amely felezi az NG1 és NG2 félegyenesek közti szöget, akkor N minden más helyzete g-nek azon az oldalán van, mint G1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen F1 tükörképe e-re F1' (1. ábra), így e az F1F1' szakasz felező merőlegese, és a sík bármely olyan P pontjára, amely e-nek az F1-et tartalmazó partján van, PF1'>PF1, a többiekre PF1'PF1.

 
 
1. ábra
 

Legyen F1 merőleges vetülete e-n, ill. az F1MF2 szög m szögfelezőjén V', ill. V''. A szögfelezés és a tükrözés miatt
F1'MF2=F1'MV'+V'MF1+F1MV''+V''MF2==2(V'MF1+F1MV'')=2V'MV''=180,


tehát F1' az F2M egyenes M-en túli meghosszabbításán van, továbbá
F1'F2=F1'M+MF2=F1M+MF2=s.
Megállapításaink akkor is helyesek, ha M éppen rajta van az F1F2 egyenesen (az F1MF2 háromszög elfajul egyenesszakasszá). Ekkor s>F1F2 miatt M csak úgy helyezkedhetik el, hogy tőle F1 és F2 ugyanabban az irányban van, F1MF2=0, felezőjeként az MF1 félegyenes tekintendő, így eF1F2. Ezért F1' az MF1 egyenesen adódik, és M elválasztja F1'-t F2-től, ezért F1'F2 összeadással adódik F1'M-ből és MF2-ből.
Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy van a mozgó pontnak egy az M-től különböző M* helyzete az e-n vagy ennek F1-et nem tartalmazó partján. Ekkor
F1'M*F1M*,és mégisF1M*+M*F2=s,tehát(1)s*=F1'M*+M*F2s.


Másrészt az M*, F1', F2 pontokra a háromszögegyenlőtlenség és a fentiek alapján (gondolva szakasszá fajult háromszög lehetőségére is):
s*=F1'M*+M*F2F1'F2=s,vagyiss*s.

E két megállapításból s*=s=F1'F2, ami szerint egyrészt (1)-ben egyenlőség áll, tehát M* rajta van e-n, másrészt rajta van az F1'F2 szakaszon is, tehát azonos e szakasz és az e egyenes egyetlen közös pontjával, M-mel. Ellentmondásba jutottunk feltevésünkkel, eszerint a kérdéses M* pályapont nem létezik. Ezt kellett bizonyítanunk.
 
 
2. ábra
 

b) G1-nek g-re való G1' tükörképe az NG2 félegyenesen van (2. ábra), és a feltevés miatt NG1'=NG1=NG2-d, ezért G1'G2=d. Tegyük fel, hogy pontunk pályájának egy az N-től különböző N* pontja nincs benne a g-vel kettévágott síknak G1-et tartalmazó félsíkjában, vagyis hogy
N*G1'N*G1és mégisN*G2-N*G1=d,(2)
‐ ugyanis g a G1G1' szakasz felező merőlegese. Ezek alapján d*=N*G2- -N*G1'd, viszont az N*, G1', G2 ponthármasra alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget
d*=N*G2-N*G1'G1'G2=d,
vagyis csak d*=d lehetséges. Emiatt egyrészt (2)-ben egyenlőség áll, N* csak g pontja lehet, másrészt N*, G1', G2 nem alkotnak valódi háromszöget, N* a G1'G2 egyenesen van, tehát N* ‐ feltevésünkkel ellentétben ‐ azonos N-nel, mint g és a G1'G2 egyenes egyetlen közös pontjával. Eszerint nincs pontunk pályájának további pontja sem g-n, sem annak G1-et nem tartalmazó partján. Az állítást bebizonyítottuk.
 
 Körtvélyessy Péter (Szeged, Ságvári E. gyak. g. II. o. t.)
 
Megjegyzés. Többen észrevették, hogy M pontunk pályája ellipszis, melynek fókuszai F1, F2, és nagy tengelyének hossza s, másrészt hogy N pályája egyik ága annak a hiperbolának, melynek fókuszai G1, G2, és főtengelyének hossza d.