Feladat: 921. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balázs Katalin ,  Bárány I. ,  Berkes Zoltán ,  Bóta K. ,  Darvas Gy. ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Faragó T. ,  Fodor Magdolna ,  Jereb L. ,  Karsai Kornélia ,  Király L. ,  Lévai F. ,  Malina J. ,  Nagy Júlia ,  Óhegyi E. ,  Sarkadi-Nagy I. ,  Szász A. ,  Szeidl L. ,  Szentiványi B. ,  Tényi G. ,  Vesztergombi Katalin ,  Vizvári B. 
Füzet: 1965/április, 156 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/május: 921. matematika gyakorlat

Adott egy egyenes és az egyik partján két pont. Keressük meg az egyenesnek azt a pontját, amelyből a két pont közti szakasz a lehető legnagyobb szögben látszik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott egyenes e, a két adott pont A és B, az AB metszéspontja e-vel ‐ ha nem párhuzamosak ‐ legyen C, és ez esetben válasszuk a betűzést úgy, hogy B feküdjön A és C között. Az AB szakasz látószöge C-ből 0, az e egyenes minden más P pontjából ennél nagyobb. A P-ből vett látószög egyben az ABP háromszög köré írt kör P-t nem tartalmazó AB ívén nyugvó kerületi szög is. Ez az ív a kör sugarának csökkenésével növekszik, így várható, hogy egy az A-n és B-n átmenő, e-t érintő kör érintési pontjára lesz a legnagyobb.

 
 

A-n és B-n át két e-t érintő kör húzható, kivéve, ha AB párhuzamos e-vel. Ha T ezek valamelyikének az érintési pontja e-n, akkor a kör C-ből húzott szelőjére és érintőjére fennáll CT2=CACB. Ez az érték A-val és B-vel egyértelműen meg van határozva, így a két érintési pontot a C körül CACB sugárral rajzolt kör metszi ki e-ből.
Megmutatjuk, hogy a CT1 félegyenes minden C-től és T1-től különböző P pontjából kisebb szög alatt látszik AB, mint T1-ből. Ha P a CT1 szakaszon van, akkor a CAT1 szögtartományban fekszik, a körön kívül, így az AP szakasz metszi a kör A-t nem tartalmazó T1B ívét egy Q pontban. A BPQ háromszög belső és küső szögére
APB=QPB<AQB=AT1B.

Ha P' a T1-en túli meghosszabbításon van, akkor az ABT1 szögtartományban és a körön kívül van, így a P'B szakasz metszi a B-t nem tartalmazó AT1 ívet egy  Q' pontban, és az  AP'Q' háromszögből
AP'B=AP'Q'<AQ'B=AT1B.

A CT1 félegyenesen tehát a T1 pontból legnagyobb a látószög, és ugyanígy a CT2 félegyenesen a T2 pontból. Hasonlóan látható, hogy ha ABe, akkor e minden más pontjából kisebb AB látószöge, mint a T érintési pontból. (Ennek részlétezését az olvasóra bízzuk.)
Ha ABe, akkor a két érintő kör egymás tükörképe AB-re, így T1-ből is, T2-ből is a látószög a lehető legnagyobb.
Ha pl. ACT1 hegyes szög, akkor AB felező merőlegesének a T1-ben e-re emelt merőlegessel való O1 metszéspontja közelebb van e-hez, mint a T2-ben emelt merőlegessel való O2 metszéspontja. Így a T1-ben érintő kör sugara, O1T1, kisebb, mint a T2-ben érintő kör O2T2 sugara. Ebből következik, hogy az előbbi kör T1-et tartalmazó AB ívének az AB egyenesre vonatkozó tükörképe annak a tartománynak a belsejében lesz, amit az AB szakasz és a T2-ben érintő kör T2-t tartalmazó AB íve határol. Ekkor azonban az előbbi körívről, s így T1-ből is nagyobb szögben látszik AB, mint az utóbbiról, tehát nagyobb szögben, mint T2-ből. Ebben az esetben tehát T1 a keresett pont. Ha AB párhuzamos e-vel, akkor, mint említettük, az A-n és B-n átmenő és e-t érintő (egyetlen) kör érintési pontjából látszik legnagyobb szög alatt AB.
 Berkes Zoltán (Budapest, Bolyai J. g. I. o. t.)