Kezdőlap


Feladat:	921. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs Katalin , Bárány I. , Berkes Zoltán , Bóta K. , Darvas Gy. , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Faragó T. , Fodor Magdolna , Jereb L. , Karsai Kornélia , Király L. , Lévai F. , Malina J. , Nagy Júlia , Óhegyi E. , Sarkadi-Nagy I. , Szász A. , Szeidl L. , Szentiványi B. , Tényi G. , Vesztergombi Katalin , Vizvári B.
Füzet:	1965/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/május: 921. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott egyenes $e$ , a két adott pont $A$ és $B$ , az $A B$ metszéspontja $e$ -vel ‐ ha nem párhuzamosak ‐ legyen $C$ , és ez esetben válasszuk a betűzést úgy, hogy $B$ feküdjön $A$ és $C$ között. Az $A B$ szakasz látószöge $C$ -ből $0^{\circ}$ , az $e$ egyenes minden más $P$ pontjából ennél nagyobb. A $P$ -ből vett látószög egyben az $A B P$ háromszög köré írt kör $P$ -t nem tartalmazó $A B$ ívén nyugvó kerületi szög is. Ez az ív a kör sugarának csökkenésével növekszik, így várható, hogy egy az $A$ -n és $B$ -n átmenő, $e$ -t érintő kör érintési pontjára lesz a legnagyobb.

A

-n és

B

-n át két

e

-t érintő kör húzható, kivéve, ha

A B

párhuzamos

e

-vel. Ha

T

ezek valamelyikének az érintési pontja

e

-n, akkor a kör

C

-ből húzott szelőjére és érintőjére fennáll

C T^{2} = C A \cdot C B

. Ez az érték

A

-val és

B

-vel egyértelműen meg van határozva, így a két érintési pontot a

C

körül

\sqrt[]{C A \cdot C B}

sugárral rajzolt kör metszi ki

e

-ből.
Megmutatjuk, hogy a

C T_{1}

félegyenes minden

C

-től és

T_{1}

-től különböző

P

pontjából kisebb szög alatt látszik

A B

, mint

T_{1}

-ből. Ha

P

C T_{1}

szakaszon van, akkor a

C A T_{1}

szögtartományban fekszik, a körön kívül, így az

A P

szakasz metszi a kör

A

-t nem tartalmazó

T_{1} B

ívét egy

Q

pontban. A

B P Q

háromszög belső és küső szögére

\begin{matrix} A P B ∢ = Q P B ∢ < A Q B ∢ = A T_{1} B ∢ . \end{matrix}

P'

T_{1}

-en túli meghosszabbításon van, akkor az

A B T_{1}

szögtartományban és a körön kívül van, így a

P' B

szakasz metszi a

B

-t nem tartalmazó

A T_{1}

ívet egy

Q'

pontban, és az

A P' Q'

háromszögből

\begin{matrix} A P' B ∢ = A P' Q' ∢ < A Q' B ∢ = A T_{1} B ∢ . \end{matrix}

C T_{1}

félegyenesen tehát a

T_{1}

pontból legnagyobb a látószög, és ugyanígy a

C T_{2}

félegyenesen a

T_{2}

pontból. Hasonlóan látható, hogy ha

A B ∥ e

, akkor

e

minden más pontjából kisebb

A B

látószöge, mint a

T

érintési pontból. (Ennek részlétezését az olvasóra bízzuk.)
Ha

A B ⊥ e

, akkor a két érintő kör egymás tükörképe

A B

-re, így

T_{1}

-ből is,

T_{2}

-ből is a látószög a lehető legnagyobb.
Ha pl.

A C T_{1}

hegyes szög, akkor

A B

felező merőlegesének a

T_{1}

-ben

e

-re emelt merőlegessel való

O_{1}

metszéspontja közelebb van

e

-hez, mint a

T_{2}

-ben emelt merőlegessel való

O_{2}

metszéspontja. Így a

T_{1}

-ben érintő kör sugara,

O_{1} T_{1}

, kisebb, mint a

T_{2}

-ben érintő kör

O_{2} T_{2}

sugara. Ebből következik, hogy az előbbi kör

T_{1}

-et tartalmazó

A B

ívének az

A B

egyenesre vonatkozó tükörképe annak a tartománynak a belsejében lesz, amit az

A B

szakasz és a

T_{2}

-ben érintő kör

T_{2}

-t tartalmazó

A B

íve határol. Ekkor azonban az előbbi körívről, s így

T_{1}

-ből is nagyobb szögben látszik

A B

, mint az utóbbiról, tehát nagyobb szögben, mint

T_{2}

-ből. Ebben az esetben tehát

T_{1}

a keresett pont. Ha

A B

párhuzamos

e

-vel, akkor, mint említettük, az

A

-n és

B

-n átmenő és

e

-t érintő (egyetlen) kör érintési pontjából látszik legnagyobb szög alatt

A B

.
Berkes Zoltán (Budapest, Bolyai J. g. I. o. t.)