Feladat: 846. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Aczél G. ,  Bárány I. ,  Bóta K. ,  Csirik J. ,  Czina F. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Fejes Tóth G. ,  Ferenczi Gy. ,  Folly G. ,  Földes Antónia ,  Gálfi I. ,  Hoffer Anna ,  Hoffmann P. ,  Kiss Árpád ,  Kiss Katalin ,  Laufer Judit ,  Lovász L. ,  Mátrai M. ,  Molnár Ágnes ,  Nagy Klára ,  Pelikán J. ,  Siket Aranka ,  Simonovits András ,  Sófalvi M. ,  Somos P. ,  Surányi L. ,  Szabó M. ,  Szabó Z. ,  Szeidl L. ,  Szemkeő Judit ,  Szilágyi Tivadar ,  Vres F. ,  Zichy L. 
Füzet: 1964/február, 74 - 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/május: 846. matematika gyakorlat

Tekintsük azt a 81 pontot, amelyben a sakktáblát felosztó 99 egyenes egymást metszi és nevezzük őket hálózati pontoknak. Hány olyan négyzet van, amelynek mind a négy csúcsa hálózati pont? Hány marad akkor, ha a tábla középpontját nem vehetjük négyzetcsúcsnak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Egy a feltételnek megfelelő négyzet oldalai lehetnek párhuzamosak a sakktábla oldalaival; ha nem ilyenek, a csúcsain át a tábla oldalaival párhuzamos egyeneseket húzva befoglalhatjuk egy a tábla oldalaival párhuzamos oldalú négyzetbe ‐ nevezzük az ilyeneket alapnégyzetnek ‐ úgy, hogy az előbbi csúcsai az alapnégyzet oldalain vannak. Megszámoljuk egyrészt az egy alapnégyzetbe a mondott módon beírható négyzeteket, másrészt a táblán elhelyezhető alapnégyzeteket.

 
 

Egy alapnégyzetbe annyi négyzetet írhatunk be, ahány belső hálózati pont van a négyzet egy oldalszakaszán. Számítsuk ehhez hozzá magát az alapnégyzetet is, így összesen annyi négyzetet kapunk, ahány egységnyi az alapnégyzet oldala, egységnek a sakktábla egy mezejének oldalát választva (ugyanis az oldal minden egységnyi szakaszához a kezdőpontjából kiindulva rajzolható négyzet, az elsőhöz tehát magát az alapnégyzetet párosíthatjuk hozzá).
Nézzük most meg, hol helyezkedhet el egy c egységnyi oldalú alapnégyzet bal alsó csúcsa. Ez nyilván lehet a tábla bal oldalán, vagy az onnan számított legfeljebb 8-c-edik hálózati egyenesen. (Ha pl. c=6, akkor a bal alsó csúcs a tábla bal szélétől 0, 1, vagy 2 egység távolságra lehet.) Hasonlóan a kérdéses csúcs a tábla alsó oldalától legfeljebb 8-c egység távolságban lehet. Ez a csúcs tehát a tábla bal alsó sarkában elhelyezhető 8-c oldalú alapnégyzet valamelyik hálózati pontja lehet. Ennek a négyzetnek minden oldalán 8-c+1=9-c hálózati pont van, a négyzet tehát (9-c)2 hálózati pontot tartalmaz. Ugyanennyiféleképpen helyezhető el egy c egységnyi oldalú alapnégyzet a sakktáblán úgy, hogy csúcsai hálózati pontok legyenek. (pl. c=6 esetén (9-6)2=32=9-féleképpen.)
Mindegyikbe c-féleképpen írható be négyzet (közéjük számítva az alapnégyzetet is), így összesen (9-c)2 számú olyan négyzetet kapunk, amelyik c oldalú négyzetbe van beírva. Ezt c=1, 2, ..., 8-ra összeadva kapjuk a keresett négyzetek számát. Ez
82+722+623+524+425+326+227+8=540.

II. Összeszámláljuk most a kizárandó négyzeteket, amelyeknek egyik csúcsa a tábla K középpontja. Egy ilyen négyzet olyan alapnégyzetbe van beírva, amelyiknek egyik oldala K-n megy keresztül, s így az alapnégyzet, oldala legfeljebb 4 egységnyi, mert K távolsága a tábla széleitől 4 egység. Ha egy c oldalú alapnégyzet határán levő valamelyik hálózati pontját K-ba helyezzük és beleírjuk azt a négyzetet, amelyiknek ez az egyik csúcsa, egy kizárandó négyzetet kapunk, és az alapnégyzet más‐más hálózati pontját illesztve K-ba más-más négyzetet. Így 4c olyan kizárandó négyzet van, amelyik c oldalú alapnégyzetbe van írva, mert ennyi hálózati pont van az alapnégyzet határán. Ezt c=1, 2, 3, 4-re összegezve a kizárandó négyzetek száma
4(1+2+3+4)=40,
s így 500 olyan négyzet van, amelynek csúcsai a sakktáblának a középpontjától különböző hálózati pontjai.
 
Siket Aranka (Makó, József A. g. II. o. t.)