Kezdőlap


Feladat:	846. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aczél G. , Bárány I. , Bóta K. , Csirik J. , Czina F. , Domokos Zsuzsanna , Fejes Tóth G. , Ferenczi Gy. , Folly G. , Földes Antónia , Gálfi I. , Hoffer Anna , Hoffmann P. , Kiss Árpád , Kiss Katalin , Laufer Judit , Lovász L. , Mátrai M. , Molnár Ágnes , Nagy Klára , Pelikán J. , Siket Aranka , Simonovits András , Sófalvi M. , Somos P. , Surányi L. , Szabó M. , Szabó Z. , Szeidl L. , Szemkeő Judit , Szilágyi Tivadar , Vres F. , Zichy L.
Füzet:	1964/február, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Sakktáblával kapcsolatos feladatok, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1963/május: 846. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Egy a feltételnek megfelelő négyzet oldalai lehetnek párhuzamosak a sakktábla oldalaival; ha nem ilyenek, a csúcsain át a tábla oldalaival párhuzamos egyeneseket húzva befoglalhatjuk egy a tábla oldalaival párhuzamos oldalú négyzetbe ‐ nevezzük az ilyeneket alapnégyzetnek ‐ úgy, hogy az előbbi csúcsai az alapnégyzet oldalain vannak. Megszámoljuk egyrészt az egy alapnégyzetbe a mondott módon beírható négyzeteket, másrészt a táblán elhelyezhető alapnégyzeteket.

Egy alapnégyzetbe annyi négyzetet írhatunk be, ahány belső hálózati pont van a négyzet egy oldalszakaszán. Számítsuk ehhez hozzá magát az alapnégyzetet is, így összesen annyi négyzetet kapunk, ahány egységnyi az alapnégyzet oldala, egységnek a sakktábla egy mezejének oldalát választva (ugyanis az oldal minden egységnyi szakaszához a kezdőpontjából kiindulva rajzolható négyzet, az elsőhöz tehát magát az alapnégyzetet párosíthatjuk hozzá).
Nézzük most meg, hol helyezkedhet el egy

c

egységnyi oldalú alapnégyzet bal alsó csúcsa. Ez nyilván lehet a tábla bal oldalán, vagy az onnan számított legfeljebb

8 - c

-edik hálózati egyenesen. (Ha pl.

c = 6

, akkor a bal alsó csúcs a tábla bal szélétől 0, 1, vagy 2 egység távolságra lehet.) Hasonlóan a kérdéses csúcs a tábla alsó oldalától legfeljebb

8 - c

egység távolságban lehet. Ez a csúcs tehát a tábla bal alsó sarkában elhelyezhető

8 - c

oldalú alapnégyzet valamelyik hálózati pontja lehet. Ennek a négyzetnek minden oldalán

8 - c + 1 = 9 - c

hálózati pont van, a négyzet tehát

{(9 - c)}^{2}

hálózati pontot tartalmaz. Ugyanennyiféleképpen helyezhető el egy

c

egységnyi oldalú alapnégyzet a sakktáblán úgy, hogy csúcsai hálózati pontok legyenek. (pl.

c = 6

esetén

{(9 - 6)}^{2} = 3^{2} = 9

-féleképpen.)
Mindegyikbe

c

-féleképpen írható be négyzet (közéjük számítva az alapnégyzetet is), így összesen

{(9 - c)}^{2}

számú olyan négyzetet kapunk, amelyik

c

oldalú négyzetbe van beírva. Ezt

c = 1

, 2,

...

, 8-ra összeadva kapjuk a keresett négyzetek számát. Ez

\begin{matrix} 8^{2} + 7^{2} \cdot 2 + 6^{2} \cdot 3 + 5^{2} \cdot 4 + 4^{2} \cdot 5 + 3^{2} \cdot 6 + 2^{2} \cdot 7 + 8 = 540. \end{matrix}

II. Összeszámláljuk most a kizárandó négyzeteket, amelyeknek egyik csúcsa a tábla

K

középpontja. Egy ilyen négyzet olyan alapnégyzetbe van beírva, amelyiknek egyik oldala

K

-n megy keresztül, s így az alapnégyzet, oldala legfeljebb 4 egységnyi, mert

K

távolsága a tábla széleitől 4 egység. Ha egy

c

oldalú alapnégyzet határán levő valamelyik hálózati pontját

K

-ba helyezzük és beleírjuk azt a négyzetet, amelyiknek ez az egyik csúcsa, egy kizárandó négyzetet kapunk, és az alapnégyzet más‐más hálózati pontját illesztve

K

-ba más-más négyzetet. Így

4 c

olyan kizárandó négyzet van, amelyik

c

oldalú alapnégyzetbe van írva, mert ennyi hálózati pont van az alapnégyzet határán. Ezt

c = 1

, 2, 3, 4-re összegezve a kizárandó négyzetek száma

\begin{matrix} 4 \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 40, \end{matrix}

s így 500 olyan négyzet van, amelynek csúcsai a sakktáblának a középpontjától különböző hálózati pontjai.

Siket Aranka (Makó, József A. g. II. o. t.)