Feladat: 814. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berecz Ágota ,  Berkes István ,  Csirik János ,  Czina Ferenc ,  Dévaj Ágnes ,  Domokos Zsuzsanna ,  Fiantók T.. ,  Földes Antónia ,  Hegedűs Aletta ,  Herényi I. ,  Herényi István ,  Hoffer Anna ,  Huhn András ,  Jahn J. ,  Kiss Árpád ,  Kiss Katalin ,  Kummer J. ,  Körner János ,  Lehel Csaba ,  Lovász László ,  Major P. ,  Malatinszky Géza ,  Marosi Judit ,  Mátrai Miklós ,  Nagy István (Győr) ,  Nagy Klára ,  Pelikán József ,  Raisz Péter ,  Rapcsák T. ,  Rejtő Lídia ,  Siket Aranka ,  Szabó M. ,  Szabó Zoltán ,  Szani E. ,  Szentai Judit ,  Tamás Endre ,  Tamás G. ,  Veres Ferenc ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1963/december, 208 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Irracionális egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1963/január: 814. matematika gyakorlat

Mutassuk meg, hogy
36+146+145+630(1)
írható mint négy pozitív egész szám négyzetgyökének összege.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Olyan x, y, z, u pozitív egész számot keresünk, amelyekre

K=36+146+145+630=x+y+z+u:(1)
Négyzetre emeléssel
36+146+145+630=(x+y+z+u)++2(xy+xz+xu+yz+yu+xu).


A jobb oldal első négytagúja egész, ezért vagy egyenlő 36-tal, vagy kisebb annál, ti. akkor, ha a második zárójel tagjai között is van egész:
x+y+z+u36.
Eszerint x, y, z, u egyike sem lehet több 33-nál, és bármelyik kettőjük összege nem lehet több 34-nél. Ezért a második zárójel egyik tagja sem lehet egyenlő a
146=2294,145=2245,630=2270
tagok egyikével sem, más szóval az xy, xz, ..., zu szorzatok egyíke sem egyenlő a 294, 245, 270 számok valamelyikével. Ugyanis a 294=2372, 245=572, 270=2335 számok lehetséges kéttényezős szorzat‐előállításai:
 


294=1294=2147=398=649=742=1421,
245=1245=549=735,
270=1270=2135=390=554=645=930=1027=1518.
 


Ezek közül csak 1518-ban kisebb a tényezők összege 34-nél. Mármost az x=18, y=15 feltevésből z+u3 következik, ebből pedig
vagy z=u=1,vagy z=2,u=1.
Ámde mindkét további feltevés ellentmondásra vezet; ugyanis az első alesetben 2zu=2, és így a racionális rész legalább 37, ‐ a másodikban pedig 2zu=22, márpedig a bal oldalon nincs 2-nek egész számú többszöröse, a jobb oldalon viszont minden tag pozitív, a 22 tag nem eshet ki. Ezek szerint a bal oldal mindegyik gyökös tagja a jobb oldal két gyökös tagjának összegével egyenlő. Ebből az is adódik, hogy x+y+z+u=36.
Ha pl. xy és xz összevonható volna, akkor ez állna y és z-re is, így (1) jobb oldala 4-nél kevesebb tagból állna. Ezt a lehetőséget egyelőre figyelmen kívül hagyjuk, feltesszük, hogy az összevonható tagpárokban a gyökjelek alatt nincs azonos betű, tehát pl.
2xy+2zu=146,(2)2xz+2yu=145,(3)2xu+2yz=630.(4)


(2) és (3), majd (4) és (3) négyzeteinek különbségéből a gyökös tag kiesik. Egyszerűsítéssel, majd szorzattá alakítással
xy+zu-xz-yu=49,(x-u)(y-z)=49;(5)xu+yz-xz-yu=25,(x-y)(u-z)=25.(6)


Feltehetjük, hogy x>u, ekkor (5)-ből y>z, és mivel x-u nem lehet 49, azért x-u=y-z=7. Innen x-y=u-z, tehát (6) szerint közös értékük +5, vagy -5. Feltehetjük, hogy x>y, így x-y=5. E három független egyenlethez hozzávéve x+y+z+u=36-ot, adódik: x=15, y=10, u=8, z=3.
Ezek pozitív egész számok, megfelelnek a követelményeknek és valóban fennáll
36+146+145+630=15+10+8+3
(a két oldal közelítő értéke 11,5957).
 
 Szentai Judit (Budapest, Kanizsay D. lg. II. o. t.)
 
II. megoldás. Vegyük észre, hogy a gyök alatti K kifejezés szorzattá alakítható:
K=6(6+30)+14(6+5)=66(6+5)+14(6+5)==(66+14)(6+5),


így a keresett négyzetgyök egyenlő e két kéttagú számkifejezés négyzetgyökének szorzatával. Alkalmazzuk az elsőre az ismert1 (és könnyen igazolható)
A+B=A+A-B2+A-A-B2
azonosságot: A=216, B=196, A-B=225, és így
66+14=36+5+36-5,
ezért, majd az azonosságot újból alkalmazva
K=(3+6+5+36-5)6+5==23+430+13+230=23+529-4802+23-492++13+169-1202+13-492=15+8+10+3.


 Lehel Csaba (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)
 
III. megoldás. Vegyük segítségül az
L=36+146-145-630
számkifejezést. Ezzel
(K+L)2=K2+L2+2KL=72+286++2(36+146)2-(145+630)2=72+286+4103+426.



Próbáljuk meg az utolsó tagbeli gyököt egész C, D-vel C+D6 alakban előállítani:
103+426=C+D6,C2+6D2=103,CD=21,(7)
és látjuk, hogy C=7, D=3, megfelel, így ‐ csak a pozitív gyököt véve, úgyszintén a továbbiakban is ‐
(K+L)2=72+286+28+126=100+406=20(5+26).
Észrevéve, hogy a zárójelben 5=2+3 és 6=23:
(K+L)2=20(2+3)2,K+L=25(2+3)=210+215.
Hasonló átalakítás sikerül K-L-re. Az előzők felhasználásával
(K-L)2=K2+L2-2KL=72+286-28-126=44+166==4(11+224)=4(3+8)2,K-L=23+28.


Ezzel egyenletrendszert kaptunk K-ra és L-re, abból
K=12[(K+L)+(K-L)]=10+15+3+8.

Azt is kapjuk, hogy az L kifejezés is előállítható összeadással és kivonással négy pozitív egész szám négyzetgyökéből:
36+146-145-630=12[(K+L)-(K-L)]==10+15-3-8.


Hasonlóan segítségül vehettük volna a következő kifejezéseket
36+630-146-145=15+8-10-3és36+145-146-630=10+8-15-3;
a legutóbbi eredmény számítása a bemutatottnál egyszerűbb.
1Lásd pl. Faragó L.: Matematikai szakköri feladatgyűjtemény (2. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest 1955) 60 fd. 13. o. Laricsev‐Varga: Algebrai feladatok gyűjteménye: II. (10. kiadás, Tankönyvkiadó, Bp. 1961.) 37. o.